Calcule a integral de superfície , onde:

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=(x^2,0,0) sobre a superfície S parametrizada por
g(u,v)=(ucos v,,usin v,,v), 0<= u<=1, 0<= v<=2pi
O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo), e vamos usar a fórmula
integral dupla SFcdot N,dsigma=integral duplaDFl(g(u,v)r)cdotl(gutimes gvr),du,dv,
onde D=[0,1]times[0,2pi].

Passo 2

Para aplicar a fórmula, calculamos as derivadas parciais
gu=(cos v,,sin v,,0), gv=(-usin v,,ucos v,,1)
Em seguida, o produto vetorial é dado por
gutimes gv=(sin v, -cos v,,u)

Passo 3

Agora avaliamos o campo sobre a superfície:
Fl(g(u,v)r)=(u^2cos^2 v,,0,,0)
Fazendo o produto escalar
F(g(u,v))cdot(gutimes gv)=u^2cos^2 v,sin v

Passo 4

Por fim, montamos a integral no domínio D:
integral duplaDu^2cos^2 vsin v,du,dv =integralu=0^1integralv=0^2piu^2cos^2 vsin v,dv,du
No interior, usamos a substituição w=cos v, que faz dw=-sin v,dv, e os limites de v=0 a 2pi viram w=1 até 1. Isso leva a integral em v igual a zero. Portanto a integral toda vale zero.

Resposta

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