Suponha que
representa a densidade linear num ponto
de um arame fino com o formato de uma curva
. O valor da massa
do arame é dado por
O centro de massa do arame com função densidade
está localizado no ponto (
), onde
Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio
. Se a função densidade for
, encontre a massa e o centro de massa do arame
Passo 1
O enunciado pede a massa
e as coordenadas do centro de massa
para a curva
que é o arco de circunferência de raio
no primeiro quadrante e densidade
. Vamos usar parametrização polar do arco e calcular essas integrais.
Passo 2
Parametrizamos o arco por
Nesse caso
Passo 3
Substituindo em
temos
Mas
Logo
Passo 4
Para
calculamos o numerador
Fazendo
,
, obtemos
Portanto
e
Passo 5
Analogamente para
:
Fazendo
,
, temos
logo
Resposta
m