Suponha que rho(x, y) representa a densidade linear num ponto (x, y) de um arame fino com o formato de uma curva C. O valor da massa m do arame é dado por
m=integralC rho(x, y) d s
O centro de massa do arame com função densidade rho está localizado no ponto ( barx, bary ), onde
barx=1m integralC x rho(x, y) d s bary=1m integralC y rho(x, y) d s
Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com centro na origem e raio a. Se a função densidade for rho(x, y)=k x y, encontre a massa e o centro de massa do arame

Passo 1

O enunciado pede a massa
m=integralCrho(x,y),ds
e as coordenadas do centro de massa
barx=1mintegralCx,rho(x,y),ds, bary=1mintegralCy,rho(x,y),ds
para a curva C que é o arco de circunferência de raio a no primeiro quadrante e densidade rho(x,y)=kxy. Vamos usar parametrização polar do arco e calcular essas integrais.

Passo 2

Parametrizamos o arco por
x=acostheta, y=asintheta, 0<=theta<=pi2
Nesse caso
ds=raizl(dxr)^2+l(dyr)^2 =raiza^2sin^2theta+a^2cos^2theta,dtheta =a,dtheta

Passo 3

Substituindo em
m=integralCk,x,y,ds
temos
m =integral0^pi2k,(acostheta),(asintheta),(a,dtheta) =k,a^3integral0^pi2sinthetacostheta,dtheta
Mas
integral0^pi2sinthetacostheta,dtheta =12integral0^pi2sin2theta,dtheta =12l[-tfrac12cos2thetar]0^pi2 =12
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m=k,a^3cdot12=k,a^32

Passo 4

Para barx calculamos o numerador
integralCx,rho(x,y),ds =integral0^pi2(acostheta)l[k,(acostheta)(asintheta)r]a,dtheta =k,a^4integral0^pi2cos^2thetasintheta,dtheta
Fazendo u=costheta, du=-sintheta,dtheta, obtemos
integral0^pi2cos^2thetasintheta,dtheta =-integral1^0u^2,du =integral0^1u^2,du =13
Portanto
integralCx,rho,ds =k,a^43,
e
barx =1mcdotk,a^43 =1tfrack,a^32cdotk,a^43 =2a3

Passo 5

Analogamente para bary:
integralCy,rho,ds =integral0^pi2(asintheta)l[k,(acostheta)(asintheta)r]a,dtheta =k,a^4integral0^pi2sin^2thetacostheta,dtheta
Fazendo u=sintheta, du=costheta,dtheta, temos
integral0^pi2sin^2thetacostheta,dtheta =integral0^1u^2,du =13,
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integralCy,rho,ds=k,a^43, bary =1mcdotk,a^43 =2a3

Resposta

m = k,a^32 barx=2a3, bary=2a3

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