Encontre F(s) ou f(t), como indicado.
4. Le^2 t(t-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
Le^2t(t-1)^2
Logo queremos F(s)=Lf(t) com f(t)=e^2t(t-1)^2. Vamos usar linearidade da transformada e o teorema do deslocamento no domínio de s, além da fórmula básica
Lt^n=n!s^,n+1

Passo 2

Expandimos o quadrado para facilitar a aplicação da linearidade:
(t-1)^2 = t^2 - 2t + 1
Então
e^2t(t-1)^2 = e^2tt^2 ;-; 2,e^2tt ;+; e^2t

Passo 3

Pela propriedade de deslocamento, para cada termo temos
Le^2t,t^n =n!(s-2)^,n+1,
válido para Re(s)>2.

Passo 4

Aplicando a fórmula a cada termo:
Le^2tt^2 =2!(s-2)^3 =2(s-2)^3,
Le^2tt =1!(s-2)^2 =1(s-2)^2,
Le^2t =1s-2
Pela linearidade,
F(s) =2(s-2)^3 -2cdot1(s-2)^2 +1(s-2)

Passo 5

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador (s-2)^3:
F(s) =2 -2(s-2)+(s-2)^2(s-2)^3 =s^2-6s+10(s-2)^3,
com região de convergência Re(s)>2.

Resposta

F(s)=s^2 - 6,s + 10(s-2)^3, Re(s)>2

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