Encontrar os coeficientes da serie de Fourier para cada um dos seguintes sinais.
y(t)=1+cos (2 pi t)

Passo 1

Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos o sinal y(t) = 1 + cos(2 pi t) e queremos encontrar os coeficientes da série de Fourier dessa função. A série de Fourier nos permite representar uma função periódica como uma soma de funções senoidais (cossenos e senos) com diferentes frequências e amplitudes. Para resolver isso, vamos precisar identificar os coeficientes a0 , an e bn que compõem essa série.

Passo 2

A série de Fourier geral para uma função periódica com período T é dada por:
y(t) = a0 + sumn=1^infty [ an cos( 2pi n tT ) + bn sin( 2pi n tT ) ]
Onde:
  • a0 é o coeficiente de termo constante (DC),
  • an são os coeficientes dos cossenos,
  • bn são os coeficientes dos senos.
Para encontrar esses coeficientes, usamos as seguintes fórmulas:
a0 = 1T integral0^T y(t) , dt
an = 2T integral0^T y(t) cos( 2pi n tT ) dt
bn = 2T integral0^T y(t) sin( 2pi n tT ) dt

Passo 3

Primeiro, precisamos determinar o período T da função y(t) = 1 + cos(2 pi t) . Observando a função, a parte oscilatória é cos(2 pi t) , cujo período é T = 1 , já que cos(2 pi t) completa uma oscilação quando t varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o coeficiente a0 :
a0 = 11 integral0^1 ( 1 + cos(2 pi t) ) dt
Resolvendo a integral:
a0 = integral0^1 1 , dt + integral0^1 cos(2 pi t) , dt = [ t ]0^1 + [ sin(2 pi t)2 pi ]0^1 = (1 - 0) + ( 02 pi - 02 pi ) = 1
Então, a0 = 1 .

Passo 5

Em seguida, vamos calcular os coeficientes an . Para a função y(t) = 1 + cos(2 pi t) :
an = 2 integral0^1 ( 1 + cos(2 pi t) ) cos(2 pi n t) dt
Vamos resolver a integral separadamente para cada termo:
  1. integral0^1 cos(2 pi n t) dt
  2. integral0^1 cos(2 pi t) cos(2 pi n t) dt
Usando fórmulas de produtos de cossenos e aplicando as integrais, concluímos que para n neq 1 , esses termos se anulam, e para n = 1 , encontramos a1 = 1 .

Passo 6

Agora, calculamos os coeficientes bn :
bn = 2 integral0^1 ( 1 + cos(2 pi t) ) sin(2 pi n t) dt
Novamente, resolvendo as integrais separadamente, percebemos que ambas resultam em zero, pois as integrais de senos sobre um período completo são nulas.

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier para o sinal y(t) = 1 + cos(2 pi t) são:
a0 = 1
a1 = 1
an = 0 para n neq 1
bn = 0 para todo n

Exercícios relacionados