Encontrar os coeficientes da serie de Fourier para cada um dos seguintes sinais.
Passo 1
Vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos o sinal
e queremos encontrar os coeficientes da série de Fourier dessa função. A série de Fourier nos permite representar uma função periódica como uma soma de funções senoidais (cossenos e senos) com diferentes frequências e amplitudes. Para resolver isso, vamos precisar identificar os coeficientes
,
e
que compõem essa série.
Passo 2
A série de Fourier geral para uma função periódica com período
é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de termo constante (DC), -
são os coeficientes dos cossenos, -
são os coeficientes dos senos.
Para encontrar esses coeficientes, usamos as seguintes fórmulas:
Passo 3
Primeiro, precisamos determinar o período
da função
. Observando a função, a parte oscilatória é
, cujo período é
, já que
completa uma oscilação quando
varia de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o coeficiente
:
Resolvendo a integral:
Então,
.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular os coeficientes
. Para a função
:
Vamos resolver a integral separadamente para cada termo:
Usando fórmulas de produtos de cossenos e aplicando as integrais, concluímos que para
, esses termos se anulam, e para
, encontramos
.
Passo 6
Agora, calculamos os coeficientes
:
Novamente, resolvendo as integrais separadamente, percebemos que ambas resultam em zero, pois as integrais de senos sobre um período completo são nulas.
Resposta
Os coeficientes da série de Fourier para o sinal
são: