Calcule a integral de superfície integral duplaS x-y+z d S, onde S é dada por z^2=x^2+y^2 no primeiro octante, limitado pelo plano x y e pelo plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
integral duplaS(x - y + z),dS
sobre a parte do cone z^2 = x^2 + y^2 situada no primeiro octante e limitada pelo plano z=0 (plano xy) e pelo plano z=1.
O conteúdo necessário é: integração de função escalar sobre superfície dada como gráfico z = g(x,y), usando
dS = raiz1 + gx^2 + gy^2,dA

Passo 2

Identificamos que em S temos z = raizx^2 + y^2 (ramo positivo do cone) e o domínio D no plano xy é
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=1
Logo podemos escrever
integral duplaS(x - y + z),dS = integral duplaDl(x - y + raizx^2+y^2r)raiz1 + zx^2 + zy^2,dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de z=raizx^2+y^2:
zx = xraizx^2+y^2, zy = yraizx^2+y^2,
então
1 + zx^2 + zy^2 = 1 + x^2+y^2x^2+y^2 = 2,
e portanto
dS = raiz2,dA

Passo 4

Substituindo em coordenadas polares (x=rcostheta,;y=rsintheta), com rin[0,1] e thetain[0,pi/2], temos
x - y + raizx^2+y^2 = rcostheta - rsintheta + r
e
dA = r,dr,dtheta
Assim a integral vira
integral duplaS(x - y + z),dS = raiz2 integral0^pi/2!integral0^1 l(rcostheta - rsintheta + rr),r,dr,dtheta

Passo 5

Dentro da dupla integral temos r(rcostheta - rsintheta + r)=r^2(costheta-sintheta+1). Primeiro integramos em r:
integral0^1r^2,dr = 13
Depois em theta:
integral0^pi/2(costheta-sintheta+1),dtheta = l[sinthetar]0^pi/2 - l[-costhetar]0^pi/2 + l[thetar]0^pi/2 = 1 - 1 + pi2 = pi2
Portanto
integral duplaS(x - y + z),dS = raiz2,13,pi2 = piraiz26

Resposta

piraiz26

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