Calcule integralgamma x e^-2 x d x+(x^4+2 x^2 y^2) d y onde gamma é a curva determinada por y=x^2 do ponto (0,0) ao ponto (1,1), e por y=x^3 do ponto (1,1) ao ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! A questão nos pede para calcular:
integralgamma x e^-2 x , dx + (x^4 + 2 x^2 y^2) , dy
onde gamma é composta por duas curvas:
  1. De (0,0) a (1,1) seguindo y = x^2.
  2. De (1,1) de volta a (0,0) seguindo y = x^3.
Vamos precisar usar parametrização de curvas e integrar em cada trecho separadamente. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar ao longo da primeira parte da curva: de (0,0) a (1,1) com y = x^2.
Para isso, vamos parametrizar a curva usando x como parâmetro:
x = t, y = t^2, onde t vai de 0 a 1
Então, as derivadas são:
dx = dt, dy = 2t , dt

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
integral0^1 [ t e^-2 t cdot dt + (t^4 + 2 t^2 (t^2)^2) cdot 2t , dt ]
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
t^4 + 2 t^2 cdot t^4 = t^4 + 2 t^6
Então, a integral fica:
integral0^1 ( t e^-2 t + (t^4 + 2 t^6) cdot 2t ) dt = integral0^1 ( t e^-2 t + 2 t^5 + 4 t^7 ) dt

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
  1. integral0^1 t e^-2 t , dt
Para isso, usamos integração por partes. Seja u = t e dv = e^-2 t dt. Então, du = dt e v = -12 e^-2 t.
Aplicando a fórmula da integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
integral t e^-2 t dt = -t2 e^-2 t + 12 integral e^-2 t dt = -t2 e^-2 t - 14 e^-2 t + C
Avaliado de 0 a 1:
[-12 e^-2 - 14 e^-2] - [0 - 14] = -34 e^-2 + 14
  1. integral0^1 2 t^5 , dt = 2 cdot t^66 |0^1 = 26 = 13
  2. integral0^1 4 t^7 , dt = 4 cdot t^88 |0^1 = 48 = 12

Passo 5

Somando as integrais da primeira curva:
-34 e^-2 + 14 + 13 + 12 = -34 e^-2 + 14 + 26 + 36 = -34 e^-2 + 14 + 56
Convertendo para denominadores comuns:
-34 e^-2 + 312 + 1012 = -34 e^-2 + 1312

Passo 6

Agora, vamos integrar a segunda parte da curva: de (1,1) a (0,0) com y = x^3.
Parametrizamos dessa vez de x = t, mas agora t vai de 1 a 0:
x = t, y = t^3, onde t vai de 1 a 0
As derivadas são:
dx = dt, dy = 3 t^2 , dt

Passo 7

Substituindo na integral:
integral1^0 [ t e^-2 t cdot dt + (t^4 + 2 t^2 (t^3)^2) cdot 3 t^2 , dt ]
Simplificando:
t^4 + 2 t^2 cdot t^6 = t^4 + 2 t^8
Então, a integral fica:
integral1^0 ( t e^-2 t + (t^4 + 2 t^8) cdot 3 t^2 ) dt = integral1^0 ( t e^-2 t + 3 t^6 + 6 t^10 ) dt
Como os limites estão de 1 para 0, podemos trocar a ordem dos limites mudando o sinal:
- integral0^1 ( t e^-2 t + 3 t^6 + 6 t^10 ) dt

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
  1. integral0^1 t e^-2 t , dt já calculamos anteriormente: -34 e^-2 + 14
  2. integral0^1 3 t^6 , dt = 3 cdot t^77 |0^1 = 37
  3. integral0^1 6 t^10 , dt = 6 cdot t^1111 |0^1 = 611

Passo 9

Somando as integrais da segunda curva:
-( -34 e^-2 + 14 + 37 + 611 ) = 34 e^-2 - 14 - 37 - 611

Passo 10

Agora, somamos as contribuições das duas curvas:
Primeira curva:
-34 e^-2 + 1312
Segunda curva:
34 e^-2 - 14 - 37 - 611
Somando:
( -34 e^-2 + 1312 ) + ( 34 e^-2 - 14 - 37 - 611 ) = 1312 - 14 - 37 - 611
Os termos com e^-2 cancelam!

Passo 11

Vamos calcular os números:
1312 - 14 = 1312 - 312 = 1012 = 56
Então:
56 - 37 - 611
Calculando cada fração:
56 approx 0,8333
37 approx 0,4286
611 approx 0,5455
Subtraindo:
0,8333 - 0,4286 - 0,5455 approx -0,1408

Resposta

O valor da integral é aproximadamente -0,1408.

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