Calcule
onde
é a curva determinada por
do ponto
ao ponto
, e por
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! A questão nos pede para calcular:
onde
é composta por duas curvas:
- De
a seguindo . - De
de volta a seguindo .
Vamos precisar usar parametrização de curvas e integrar em cada trecho separadamente. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar ao longo da primeira parte da curva: de
a
com
.
Para isso, vamos parametrizar a curva usando
como parâmetro:
Então, as derivadas são:
Passo 3
Agora, substituímos na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
Para isso, usamos integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula da integração por partes
:
Avaliado de 0 a 1:
-
-
integral0^1 4 t^7 , dt = 4 cdot t^88 |0^1 = 48 = 12
Passo 5
Somando as integrais da primeira curva:
Convertendo para denominadores comuns:
Passo 6
Agora, vamos integrar a segunda parte da curva: de
(1,1) a
(0,0) com
y = x^3 .
Parametrizamos dessa vez de
x = t , mas agora
t vai de
1 a
0 :
As derivadas são:
Passo 7
Substituindo na integral:
Simplificando:
Então, a integral fica:
Como os limites estão de 1 para 0, podemos trocar a ordem dos limites mudando o sinal:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
-
já calculamos anteriormente:integral0^1 t e^-2 t , dt -34 e^-2 + 14 -
integral0^1 3 t^6 , dt = 3 cdot t^77 |0^1 = 37 -
integral0^1 6 t^10 , dt = 6 cdot t^1111 |0^1 = 611
Passo 9
Somando as integrais da segunda curva:
Passo 10
Agora, somamos as contribuições das duas curvas:
Primeira curva:
Segunda curva:
Somando:
Os termos com
e^-2 cancelam!
Passo 11
Vamos calcular os números:
Então:
Calculando cada fração:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral é aproximadamente
-0,1408 .