Suponha que você comece no ponto (0,0,3) e se mova 5 unidades ao longo da curva x=3 sen t, y=4 t, z=3 cos t na direção positiva. Em que posição você está agora?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada por
x=3sin t, y=4t, z=3cos t
e diz que começamos em (0,0,3), que é exatamente o ponto obtido em t=0. Precisamos avançar uma distância de 5 unidades ao longo dessa curva, no sentido de aumento de t, e então determinar as novas coordenadas.

Passo 2

Para saber quanto vale a distância percorrida até um certo parâmetro t, usamos o cálculo de comprimento de arco. Calculamos primeiro as derivadas:
dxdt=3cos t, dydt=4, dzdt=-3sin t
A velocidade (módulo da derivada vetor) é
raizl(3cos tr)^2 + 4^2 + l(-3sin tr)^2 =raiz9cos^2t +16 +9sin^2t =raiz9(cos^2t+sin^2t)+16 =raiz9+16 =5

Passo 3

Como a velocidade é constante e igual a 5, o comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=integral0^t5,du=5t
Queremos s(t)=5, logo
5t=5Longrightarrow t=1

Passo 4

Basta então avaliar a parametrização em t=1:
x(1)=3sin(1), y(1)=4cdot1=4, z(1)=3cos(1)

Resposta

,(3sin(1),,4,,3cos(1))

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