Calcule a integral de superfície
onde
e
é a esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
e
é a esfera definida por
. Vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral de superfície
. Essa integral representa o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Aqui,
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, podemos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície ao fluxo de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. O teorema diz:
onde
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
, e
. Então:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos:
Ou seja, precisamos calcular três vezes o volume da esfera
.
Passo 6
Vamos calcular o volume
da esfera de raio
. A fórmula do volume de uma esfera é:
Substituindo
:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos o volume por 3:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.