Calcule a integral de superfície integral duplaS F cdot N d S onde
F(x, y, z)=x i+y j+z k
e S é a esfera x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot N , dS, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = x i + y j + z k e S é a esfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = 4. Vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral de superfície integral duplaS F cdot N , dS. Essa integral representa o fluxo do campo vetorial F através da superfície S. Aqui, N é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, podemos aplicar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície ao fluxo de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. O teorema diz:
integral duplaS F cdot N , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
onde V é o volume limitado pela superfície S.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
No nosso caso, P = x, Q = y, e R = z. Então:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos:
integral duplaS F cdot N , dS = integral triplaV 3 , dV = 3 integral triplaV , dV
Ou seja, precisamos calcular três vezes o volume da esfera S.

Passo 6

Vamos calcular o volume V da esfera de raio r = 2. A fórmula do volume de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
Substituindo r = 2:
V = 43 pi (2)^3 = 43 pi times 8 = 323 pi

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o volume por 3:
3 times 323 pi = 32 pi

Resposta

O valor da integral de superfície é 32,pi.

Exercícios relacionados