Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
& f: A subset R B subset R & x mapsto f(x)=y
y=ln (6 x-7)

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon AsubsetRto BsubsetR, f(x)=ln(6x-7),
e pede (i) o domínio A, (ii) a imagem B e (iii) o esboço do gráfico. Vamos usar a propriedade de que o logaritmo natural ln(u) só está definido para u>0, é estritamente crescente e tem imagem R.

Passo 2

Para existir ln(6x-7) precisamos de
6x-7>0
Resolvendo,
6x>7 Longrightarrow x>76
Logo o domínio é
A=l(tfrac76,,inftyr)

Passo 3

Como a função ln mapeia (0,infty) sobre R de forma contínua e estritamente crescente, temos
B=R

Passo 4

Características do gráfico de y=ln(6x-7):
– Há assíntota vertical em x=tfrac76, pois ali o argumento do log tende a zero e yto-infty.
– A função é crescente e \emph{côncava para baixo}.
– Intercepto com o eixo x ocorre quando ln(6x-7)=0, ou seja 6x-7=1, daí x=tfrac43, gerando o ponto l(tfrac43,0r).
– À medida que xto+infty, ln(6x-7)to+infty.
Esboço (forma qualitativa):
cdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdot
y uparrow
| bul<=t curva
| \
| \
| \
| \
– – – – –|––––––––––––––––– to x
tfrac76/ paral<=l!! assíntota ponto em ( tfrac43,0)
paral<=l
cdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdotcdot

Resposta

Domínio: l(tfrac76,inftyr)
Imagem: R
Gráfico: assíntota vertical em x=tfrac76, crescente e concavo para baixo, passa por l(tfrac43,0r).

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