Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (i) o domínio
, (ii) a imagem
e (iii) o esboço do gráfico. Vamos usar a propriedade de que o logaritmo natural
só está definido para
, é estritamente crescente e tem imagem
.
Passo 2
Para existir
precisamos de
Resolvendo,
Logo o domínio é
Passo 3
Como a função
mapeia
sobre
de forma contínua e estritamente crescente, temos
Passo 4
Características do gráfico de
:
– Há assíntota vertical em , pois ali o argumento do log tende a zero e
.
– A função é crescente e \emph{côncava para baixo}.
– Intercepto com o eixo ocorre quando
, ou seja
, daí
, gerando o ponto
.
– À medida que ,
.
– Há assíntota vertical em
– A função é crescente e \emph{côncava para baixo}.
– Intercepto com o eixo
– À medida que
Esboço (forma qualitativa):
y
|
| \
| \
| \
| \
– – – – –|–––––––––––––––––
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: assíntota vertical em , crescente e concavo para baixo, passa por
.
Imagem:
Gráfico: assíntota vertical em