Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos. série de cossenos, período 4 pi.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de séries de Fourier, especificamente a série de cossenos, que é uma maneira de representar funções periódicas usando apenas termos de cosseno. A função que vamos estudar é definida por partes no intervalo de 0 a 2pi e tem um período total de 4pi. Nosso objetivo é encontrar essa série de Fourier para a função dada, descobrir para qual função essa série converge e desenhar o gráfico dessa função em três períodos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de cossenos e como montar a série completa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. Ela é definida assim:
f(x) = x, & se 0 < x < pi, 0, & se pi < x < 2pi
E essa função se repete a cada 4pi, ou seja, tem período 4pi. Nosso objetivo é escrever essa função como uma série de cossenos com esse período.
Passo 3
Para encontrar a série de Fourier de cossenos, usamos a fórmula geral:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi x2pi)
Como o período T = 4pi, a frequência angular é omega = 2piT = pi2. Portanto, a série fica:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi x2)
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes a0 e an. O coeficiente a0 é dado por:
Novamente, como a função é periódica, podemos integrar de 0 a 2pi e multiplicar por 2:
an = 12pi times 2 integral0^2pi f(x) cos(npi x2) dx = 1pi integral0^2pi f(x) cos(npi x2) dx
Passo 7
Substituindo a função f(x):
an = 1pi ( integral0^pi x cos(npi x2) dx + integralpi^2pi 0 cdot cos(npi x2) dx ) = 1pi integral0^pi x cos(npi x2) dx
Passo 8
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(npi x2) dx Rightarrow v = 2npi sin(npi x2)
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Passo 9
Aplicando:
integral0^pi x cos(npi x2) dx = x cdot 2npi sin(npi x2) |0^pi - integral0^pi 2npi sin(npi x2) dx
Calculando o primeiro termo:
x cdot 2npi sin(npi x2) |0^pi = pi cdot 2npi sin(npi pi2) - 0 = 2n sin(npi^22)
No entanto, percebemos que houve um erro na substituição dos limites; a função é periódica, mas no contexto da definição do problema, o seno em x = 0 e x = pi resulta em zero devido às funções senoidais.
Passo 10
Vamos recalcular corretamente:
x cdot 2npi sin(npi x2) |0^pi = pi cdot 2npi sin(npi^22) - 0 = 2n sin(npi^22)
No entanto, isso ainda não está correto porque o argumento do seno está errado. A expressão correta é:
sin(npi cdot pi2) = sin(npi^22)
Mas isso não faz sentido, pois temos x em radianos. Vamos ajustar:
A série converge para a própria função f(x) nos pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites laterais.
Passo 15
Finalmente, para esboçar o gráfico em três períodos (0 a 12pi), você repetirá a forma da função original a cada 4pi, observando que de 0 a 2pi a função é x para 0 < x < pi e 0 para pi < x < 2pi, e isso se repete a cada 4pi.
Resposta
A série de Fourier de cossenos para a função dada é:
Essa série converge para a própria função f(x) nos pontos de continuidade e para a média dos valores nos pontos de descontinuidade. O gráfico dessa função em três períodos mostra uma repetição da forma definida no intervalo de 0 a 2pi, se estendendo para 0 a 12pi.