Então, o que a gente tem aqui é uma integral de superfície, que basicamente serve para somar valores numa superfície tridimensional. A gente precisa calcular , onde é a parte do cilindro definido por , com e . Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente parametrização de superfícies e integração em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da superfície . Ela é parte de um cilindro circular com eixo no eixo , já que a equação é . Além disso, temos restrições: significa que o cilindro vai do plano até , e indica que estamos considerando apenas a metade superior do cilindro.
Passo 3
Para facilitar a parametrização, vamos usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto na superfície é dada por:
Aqui, varia de a , porque , e varia de a .
Passo 4
Agora, precisamos calcular o elemento de área na parametrização escolhida. Para superfícies parametrizadas por , o elemento de área é dado por:
Onde r(theta, y) = (costheta, y, sintheta). Calculando as derivadas parciais:
partial rpartial theta = (-sintheta, 0, costheta)
partial rpartial y = (0, 1, 0)
O produto vetorial é:
partial rpartial theta times partial rpartial y = (costheta, 0, sintheta)