Calcule a integral de superfície
integral duplaS(y+z) d S
onde S é a parte do cilindro x^2+z^2=1,0 <= y <= 1 e z >= 0.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral de superfície, que basicamente serve para somar valores numa superfície tridimensional. A gente precisa calcular integral duplaS(y+z) , dS, onde S é a parte do cilindro definido por x^2+z^2=1, com 0 <= y <= 1 e z >= 0. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente parametrização de superfícies e integração em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da superfície S. Ela é parte de um cilindro circular com eixo no eixo y, já que a equação é x^2+z^2=1. Além disso, temos restrições: 0 <= y <= 1 significa que o cilindro vai do plano y=0 até y=1, e z >= 0 indica que estamos considerando apenas a metade superior do cilindro.

Passo 3

Para facilitar a parametrização, vamos usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, a posição de um ponto na superfície é dada por:
x = costheta, z = sintheta, y = y
Aqui, theta varia de 0 a pi, porque z >= 0, e y varia de 0 a 1.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o elemento de área dS na parametrização escolhida. Para superfícies parametrizadas por (theta, y), o elemento de área é dado por:
dS = | partial rpartial theta times partial rpartial y | dtheta dy
Onde r(theta, y) = (costheta, y, sintheta). Calculando as derivadas parciais:
partial rpartial theta = (-sintheta, 0, costheta)
partial rpartial y = (0, 1, 0)
O produto vetorial é:
partial rpartial theta times partial rpartial y = (costheta, 0, sintheta)
E o módulo desse vetor é:
| (costheta, 0, sintheta) | = raizcos^2theta + 0 + sin^2theta = 1
Então, dS = dtheta dy.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral duplaS(y+z) , dS = integraly=0^1 integraltheta=0^pi (y + sintheta) dtheta dy
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^1 integral0^pi y , dtheta dy + integral0^1 integral0^pi sintheta , dtheta dy

Passo 6

Calculando a primeira integral:
integral0^1 y ( integral0^pi dtheta ) dy = integral0^1 y cdot pi , dy = pi integral0^1 y , dy = pi [ y^22 ]0^1 = pi2
Agora, a segunda integral:
integral0^1 ( integral0^pi sintheta , dtheta ) dy = integral0^1 [ -costheta ]0^pi dy = integral0^1 ( -cospi + cos0 ) dy = integral0^1 ( 1 + 1 ) dy = integral0^1 2 , dy = 2

Resposta

Somando as duas partes, a integral de superfície é:
pi2 + 2

Exercícios relacionados