Verifique que
12 pi i ointgamma 1(z-1)(z-2 i) d z=0
onde gamma é a circunferência de centro em 0 e raio 4 , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
12pi iointgamma1(z-1)(z-2i),dz
onde gamma é a circunferência de centro em 0 e raio 4, orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo principal aqui é o Teorema dos Resíduos, que nos diz que
ointgamma f(z),dz = 2pi i sum Res(f,pólos no interior de gamma) ó

Passo 2

Identificamos os polos da função
f(z)=1(z-1)(z-2i)
que são z=1 e z=2i. Como lvert1rvert=1<4 e lvert2irvert=2<4, ambos estão dentro da circunferência gamma.

Passo 3

Calculamos as duas resíduos simples:
  • Em :
  • Em :
Agora somamos as duas:

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos temos
Dividindo por vem que toda a integral valia .

Resposta

0

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