Sejam C a curva que é a interseção da parte do cone x^2=z^2+y^2, x >= 0, com a esfera x^2+y^2+z^2=2 orientada no sentido anti-horário e F o campo vetorial dado por
F=(x^2+y^2, y^2+z, z^2+x)
Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r; ou seja, calcule o trabalho de F ao longo de C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva C que é a interseção entre um cone e uma esfera. A tarefa é usar o Teorema de Stokes para calcular o trabalho do campo vetorial F ao longo dessa curva. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente do Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Isso significa que a integral de linha do campo F ao longo da curva C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como contorno, com n sendo o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F . Dado que:
F = (x^2+y^2, y^2+z, z^2+x)
O rotacional nabla times F é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
Vamos calcular cada componente:
partial F3partial y = 0, partial F2partial z = 1
partial F1partial z = 0, partial F3partial x = 1
partial F2partial x = 0, partial F1partial y = 2y
Então:
nabla times F = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 2y) = (-1, -1, -2y)

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cujo contorno é C . Uma boa escolha é usar a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 que está dentro do cone x >= 0 . Essa superfície é mais fácil de trabalhar devido à simetria.

Passo 5

Vamos parametrizar a superfície S . Usaremos coordenadas esféricas, onde:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi
Para a esfera rho = raiz2 . O limite para theta vai de 0 a 2pi , e para phi , precisamos encontrar o ângulo onde o cone e a esfera se intersectam.

Passo 6

Encontrar a interseção entre o cone e a esfera. O cone é dado por x^2 = y^2 + z^2 . Substituindo na equação da esfera:
x^2 + y^2 + z^2 = 2 implies 2x^2 = 2 implies x^2 = 1 implies x = pm1
Como x >= 0 , temos x = 1 . Então, no cone, quando x = 1 :
1 = y^2 + z^2 implies y^2 + z^2 = 1
Isso significa que a superfície limita-se a uma seção da esfera com x >= 1 . O ângulo phi correspondente é tal que cosphi = xrho = 1raiz2 , então:
phi = arccos(1raiz2) = pi4
Então, phi varia de 0 a pi4 .

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Em coordenadas esféricas, o vetor normal n para a esfera é radial, ou seja, na direção de r . Assim, n = r|r| .
Para rho = raiz2 , temos dS = rho^2 sinphi , dphi , dtheta = 2 sinphi , dphi , dtheta .

Passo 8

Vamos expressar nabla times F na direção normal. Como n é radial:
(nabla times F) cdot n = (-1, -1, -2y) cdot (x, y, z)raizx^2+y^2+z^2 = (-x - y - 2y z)raiz2
Mas, em coordenadas esféricas, isso se simplifica. Porém, para simplificar, notamos que, devido à simetria, a integral das componentes x e y vão se cancelar, restando apenas a componente relacionada a z .

Passo 9

Após simplificações, a integral fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (-1) cdot xraiz2 cdot 2 sinphi , dphi , dtheta
Integrando sobre theta de 0 a 2pi e sobre phi de 0 a pi4 .

Passo 10

Resolvendo a integral:
- 2raiz2 integral0^2pi dtheta integral0^pi4 sinphi , dphi = - raiz2 cdot 2pi (1 - cos(pi4))
Sabendo que cos(pi4) = raiz22 :
- raiz2 cdot 2pi (1 - raiz22) = - 2raiz2pi (2 - raiz22) = - (2 - raiz2)raiz2pi = - (2raiz2 - 2)pi

Resposta

O trabalho de F ao longo de C é igual a:
ointC F cdot dr = - (2raiz2 - 2)pi
Ou simplificando:
ointC F cdot dr = (2 - 2raiz2)pi

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