Sejam
a curva que é a interseção da parte do cone
,
, com a esfera
orientada no sentido anti-horário e
o campo vetorial dado por
Use o Teorema de Stokes para calcular
; ou seja, calcule o trabalho de
ao longo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
que é a interseção entre um cone e uma esfera. A tarefa é usar o Teorema de Stokes para calcular o trabalho do campo vetorial
ao longo dessa curva. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especialmente do Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotacional do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Isso significa que a integral de linha do campo
ao longo da curva
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como contorno, com
sendo o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Dado que:
O rotacional
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cujo contorno é
. Uma boa escolha é usar a parte da esfera
que está dentro do cone
. Essa superfície é mais fácil de trabalhar devido à simetria.
Passo 5
Vamos parametrizar a superfície
. Usaremos coordenadas esféricas, onde:
Para a esfera
. O limite para
vai de
a
, e para
, precisamos encontrar o ângulo onde o cone e a esfera se intersectam.
Passo 6
Encontrar a interseção entre o cone e a esfera. O cone é dado por
. Substituindo na equação da esfera:
Como
, temos
. Então, no cone, quando
:
Isso significa que a superfície limita-se a uma seção da esfera com
. O ângulo
correspondente é tal que
, então:
Então,
varia de
a
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
Em coordenadas esféricas, o vetor normal
para a esfera é radial, ou seja, na direção de
. Assim,
.
Para
, temos
.
Passo 8
Vamos expressar
na direção normal. Como
é radial:
Mas, em coordenadas esféricas, isso se simplifica. Porém, para simplificar, notamos que, devido à simetria, a integral das componentes
e
vão se cancelar, restando apenas a componente relacionada a
.
Passo 9
Após simplificações, a integral fica:
Integrando sobre
de
a
e sobre
de
a
.
Passo 10
Resolvendo a integral:
Sabendo que
:
Resposta
O trabalho de
ao longo de
é igual a:
Ou simplificando: