Sejam
a fronteira do sólido
, onde
é delimitado pelo. parabolóide
e pelo plano
tem orientação positiva e
o campo vetorial dado por
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
através de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a fronteira do sólido
delimitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que basicamente relaciona o fluxo através da superfície com a divergência do campo dentro do volume. Então, vamos precisar entender como calcular a divergência e integrar isso sobre o volume
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de
é dada por:
Vamos calcular isso para o nosso
.
Passo 3
Calculando cada derivada:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
através de
é igual à integral da divergência sobre o volume
:
Precisamos então calcular essa integral tripla sobre o sólido
.
Passo 5
Vamos descrever melhor o sólido
. Ele está delimitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Isso significa que
é a região onde:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nesse sistema, o parabolóide fica
e o plano é
.
Passo 6
Em coordenadas cilíndricas, o volume
é definido por:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 7
Vamos reescrever a função que vamos integrar,
, em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em
:
Depois, a integral em
:
Por fim, a integral em
:
Sabemos que:
Porque
é uma função ímpar e a integral completa em um ciclo é zero.
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a 0.