Sejam S a fronteira do sólido E, onde E é delimitado pelo. parabolóide z=x^2+y^2 e pelo plano z=1, S tem orientação positiva e F o campo vetorial dado por
F=(x y z, y^2 z, x y)
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F através de S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o fluxo do campo vetorial F = (xyz, y^2z, xy) através da superfície S, que é a fronteira do sólido E delimitado pelo parabolóide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 1. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que basicamente relaciona o fluxo através da superfície com a divergência do campo dentro do volume. Então, vamos precisar entender como calcular a divergência e integrar isso sobre o volume E.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
div F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular isso para o nosso F.

Passo 3

Calculando cada derivada:
partial Fxpartial x = partial (xyz)partial x = yz
partial Fypartial y = partial (y^2z)partial y = 2yz
partial Fzpartial z = partial (xy)partial z = 0
Então, a divergência fica:
div F = yz + 2yz + 0 = 3yz

Passo 4

Agora, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através de S é igual à integral da divergência sobre o volume E:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaE div F , dV = integral triplaE 3yz , dV
Precisamos então calcular essa integral tripla sobre o sólido E.

Passo 5

Vamos descrever melhor o sólido E. Ele está delimitado pelo parabolóide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 1. Isso significa que E é a região onde:
x^2 + y^2 <= z <= 1
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta e z = z. Nesse sistema, o parabolóide fica z = r^2 e o plano é z = 1.

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas, o volume E é definido por:
0 <= r <= raiz1 = 1
0 <= theta <= 2pi
r^2 <= z <= 1
E o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é r , dz , dr , dtheta.

Passo 7

Vamos reescrever a função que vamos integrar, 3yz, em coordenadas cilíndricas:
y = rsintheta Rightarrow 3yz = 3rsintheta cdot z
Então, a integral fica:
integral triplaE 3yz , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^1 3rsintheta cdot z cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando:
= 3 integral0^2pi sintheta , dtheta integral0^1 r^2 , dr integralr^2^1 z , dz

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral em z:
integralr^2^1 z , dz = [ z^22 ]r^2^1 = 12 - r^42 = 1 - r^42
Depois, a integral em r:
integral0^1 r^2 cdot 1 - r^42 , dr = 12 integral0^1 (r^2 - r^6) , dr = 12 ( 13 - 17 ) = 12 cdot 421 = 221
Por fim, a integral em theta:
3 cdot 221 integral0^2pi sintheta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0
Porque sintheta é uma função ímpar e a integral completa em um ciclo é zero.

Resposta

O fluxo de F através de S é igual a 0.

Exercícios relacionados