Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
sumn=0^infty(tg^-1(n)-tg^-1(n+1))

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=0^inftyl(tg^-1(n)-tg^-1(n+1)r),
que é uma série telescópica envolvendo a função tg^-1(x). Para resolver, vamos escrever a N-ésima soma parcial, observar o cancelamento dos termos e então tomar o limite.

Passo 2

A N-ésima soma parcial é
SN=sumn=0^Nl(tg^-1(n)-tg^-1(n+1)r)
Pela natureza telescópica, todos os termos intermediários cancelam, restando
SN=tg^-1(0)-tg^-1(N+1)
Como tg^-1(0)=0, obtemos
SN=-tg^-1(N+1)

Passo 3

Para decidir convergência, avaliamos
limNtoinftySN=limNtoinftyl(-tg^-1(N+1)r) =-pi2
O limite existe e é finito, logo a série converge e sua soma é -pi/2.

Resposta

-pi2

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