Encontre o limite: lim x 0 raizx^2+16-4raizx^2+4-2

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite
limxto0raizx^2+16-4raizx^2+4-2
O tipo de indeterminação é tfrac00 e o método indicado é a racionalização de radicais, que permite eliminar as raízes quadradas do numerador e do denominador.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=0:
raiz0^2+16-4=4-4=0, raiz0^2+4-2=2-2=0
Portanto é tfrac00 e podemos racionalizar. Primeiro, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do numerador, isto é, por raizx^2+16+4:
raizx^2+16-4raizx^2+4-2 ;cdot; raizx^2+16+4raizx^2+16+4 = (x^2+16)-16(raizx^2+4-2),l(raizx^2+16+4r) = x^2(raizx^2+4-2),(raizx^2+16+4)

Passo 3

Agora racionalizamos o fator raizx^2+4-2 do denominador, multiplicando numerador e denominador por raizx^2+4+2:
x^2(raizx^2+4-2),(raizx^2+16+4) ;cdot; raizx^2+4+2raizx^2+4+2 = x^2,(raizx^2+4+2)(x^2+4)-4;l(raizx^2+16+4r)
Mas (x^2+4)-4 = x^2, logo
x^2,(raizx^2+4+2)x^2,(raizx^2+16+4) = raizx^2+4+2raizx^2+16+4

Passo 4

Com a forma simplificada
raizx^2+4+2raizx^2+16+4,
já não há indeterminação. Podemos tomar xto0 diretamente:
limxto0raizx^2+4+2raizx^2+16+4 = raiz0+4+2raiz0+16+4 = 2+24+4 = 48 = 12

Resposta

12

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