Calcule a integral de superficie integral duplaS z d S onde S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está dentro do cilindro x^2+y^2=4 e acima do plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
integral duplaS z,dS
onde S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 contida no cilindro x^2+y^2=4 e acima do plano z=1.
Conteúdo: integral de superfície de gráfico z=f(x,y). Vamos usar a fórmula
dS=raiz1+fx^2+fy^2,dA
e parametrizar em coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Como z=f(x,y)=x^2+y^2 temos
fx=2x, fy=2y
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raiz1+fx^2+fy^2=raiz1+4x^2+4y^2=raiz1+4r^2
A projeção de S no plano xy é o anel definido por
1<= x^2+y^2<=4,
pois z=x^2+y^2>=1 implica r^2>=1, e o cilindro impõe r^2<=4.

Passo 3

Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, z=r^2 e dA=r,dr,dtheta. Então
z,dS = r^2;raiz1+4r^2;(r,dr,dtheta) = r^3raiz1+4r^2,dr,dtheta
A integral fica
integral duplaSz,dS =integraltheta=0^2pi!!integralr=1^2r^3raiz1+4r^2,dr,dtheta =2piintegral1^2r^3raiz1+4r^2,dr

Passo 4

Calculemos
I=integral1^2r^3raiz1+4r^2,dr
Fazemos u=1+4r^2, de modo que du=8r,dr e r^2=(u-1)/4. Então
r^3,dr=r^2,(r,dr)=u-14cdotdu8=u-132,du
Assim
I=integralu(1)=5^u(2)=17u-132,u^1/2,du =132integral5^17(u^3/2-u^1/2),du
Integrando,
integral u^3/2,du=25u^5/2, integral u^1/2,du=23u^3/2,
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I=132l[25u^5/2-23u^3/2r]5^17 =116l[15l(17^5/2-5^5/2r)-13l(17^3/2-5^3/2r)r]
Multiplicando por 2pi obtemos a integral desejada.

Resposta

integral duplaSz,dS =pi8l[15l(17^5/2-5^5/2r)-13l(17^3/2-5^3/2r)r]

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