Calcule a integral de superficie
onde
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
e acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície
onde
é a parte do paraboloide
contida no cilindro
e acima do plano
.
Conteúdo: integral de superfície de gráfico . Vamos usar a fórmula
Conteúdo: integral de superfície de gráfico
e parametrizar em coordenadas polares para simplificar.
Passo 2
Como
temos
logo
A projeção de
no plano
é o anel definido por
pois
implica
, e o cilindro impõe
.
Passo 3
Em coordenadas polares
,
,
e
. Então
A integral fica
Passo 4
Calculemos
Fazemos
, de modo que
e
. Então
Assim
Integrando,
logo
Multiplicando por
obtemos a integral desejada.