Calcule o rotacional e o divergente do campo vetorial.
a) F(x, y, z)=x y z i-x^2 y k.
b) F(x, y, z)=e^x sen(y) i-e^x cos (y) j+z k.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o divergente e o rotacional de dois campos vetoriais em R^3.
Para isso vamos usar as fórmulas conhecidas:
nablacdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z,
nablatimes F = i & j & k partialx & partialy & partialz Fx & Fy & Fz

Passo 2

Campo (a): F(x,y,z) = (xyz,,0,,-x^2y).
Divergente:
nablacdot F = partialpartial x(xyz) + partialpartial y(0) + partialpartial z(-x^2y) = yz + 0 + 0 = yz

Passo 3

Campo (a): mesmo F.
Rotacional: montamos o determinante
nablatimes F =l(partialy(-x^2y)-partialz(0),;partialz(xyz)-partialx(-x^2y),;partialx(0)-partialy(xyz)r)
Calculando cada componente:
partialy(-x^2y)=-x^2,
partialz(xyz)=xy, partialx(-x^2y)=-2xy Rightarrow xy-(-2xy)=3xy,
partialx(0)=0, partialy(xyz)=xz Rightarrow 0 - xz = -xz.
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nablatimes F = (-x^2,;3xy,;-xz)

Passo 4

Campo (b): F(x,y,z)=(e^xsin y,,-e^xcos y,;z).
Divergente:
nablacdot F = partialpartial x(e^xsin y) + partialpartial y(-e^xcos y) + partialpartial z(z) = e^xsin y + e^xsin y + 1 = 2e^xsin y + 1

Passo 5

Campo (b): mesmo F.
Rotacional:
nablatimes F =l(partialy z-partialz(-e^xcos y),;partialz(e^xsin y)-partialx(z),;partialx(-e^xcos y)-partialy(e^xsin y)r)
As duas primeiras componentes são zero, e a terceira é
partialx(-e^xcos y) - partialy(e^xsin y) = -e^xcos y - e^xcos y = -2e^xcos y
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nablatimes F = (0,;0,;-2e^xcos y)

Resposta

(a) nablacdot F = yz,
nablatimes F = (-x^2,;3xy,;-xz).
(b) nablacdot F = 2e^xsin y + 1,
nablatimes F = (0,;0,;-2e^xcos y).

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