Calcule a integral de superfície integral duplaS x d S, onde S é a parte do plano x=y+1 que está dentro do cilindro y^2+z^2=1.

Passo 1

Vamos resolver a integral de superfície integral duplaS x , dS, onde S é a parte do plano x = y + 1 que está dentro do cilindro y^2 + z^2 = 1. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais de superfície sobre superfícies planas e parametrização de áreas limitadas por cilindros.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região S onde vamos calcular a integral. O plano dado é x = y + 1, e o cilindro que limita essa região é y^2 + z^2 = 1, que é um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo x.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, vamos parametrizar a superfície S. Como x está expresso em função de y, podemos escolher y e z como parâmetros. Então, temos:
r(y, z) = (y + 1, , y, , z)
Onde y e z variam dentro do cilindro y^2 + z^2 <= 1.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS. Para uma parametrização r(y, z), o elemento de área é dado pelo módulo do produto vetorial das derivadas parciais em relação a y e z:
dS = | partial rpartial y times partial rpartial z | dy , dz
Calculando as derivadas parciais:
partial rpartial y = (1, , 1, , 0)
partial rpartial z = (0, , 0, , 1)
O produto vetorial é:
partial rpartial y times partial rpartial z = (1, , 1, , 0) times (0, , 0, , 1) = (1 cdot 1 - 0 cdot 0, , 0 cdot 0 - 1 cdot 1, , 1 cdot 0 - 1 cdot 0) = (1, , -1, , 0)
O módulo desse vetor é:
| (1, , -1, , 0) | = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2
Então, dS = raiz2 , dy , dz.

Passo 5

Agora, expressamos a integral de superfície em termos de y e z:
integral duplaS x , dS = integral duplaD (y + 1) cdot raiz2 , dy , dz
Onde D é a projeção da superfície S no plano yz, que é o interior do cilindro y^2 + z^2 <= 1.

Passo 6

Vamos mudar para coordenadas polares no plano yz para facilitar a integração. Definimos:
y = r cos theta, z = r sin theta, onde 0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi
O elemento de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta. Substituindo na integral:
integral duplaS x , dS = raiz2 integral0^2pi integral0^1 (r cos theta + 1) r , dr , dtheta

Passo 7

Vamos expandir e separar a integral:
raiz2 integral0^2pi integral0^1 (r^2 cos theta + r) dr , dtheta = raiz2 ( integral0^2pi cos theta ( integral0^1 r^2 dr ) dtheta + integral0^2pi ( integral0^1 r , dr ) dtheta )
Calculando as integrais internas:
integral0^1 r^2 dr = [ r^33 ]0^1 = 13
integral0^1 r , dr = [ r^22 ]0^1 = 12
Substituindo de volta:
raiz2 ( 13 integral0^2pi cos theta , dtheta + 12 integral0^2pi dtheta )

Passo 8

Calculando as integrais em theta:
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então:
raiz2 ( 13 cdot 0 + 12 cdot 2pi ) = raiz2 cdot pi

Resposta

A integral de superfície é igual a raiz2 , pi.

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