Calcule a integral de superfície , onde é a parte do plano que está dentro do cilindro .
Passo 1
Vamos resolver a integral de superfície , onde é a parte do plano que está dentro do cilindro . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais de superfície sobre superfícies planas e parametrização de áreas limitadas por cilindros.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região onde vamos calcular a integral. O plano dado é , e o cilindro que limita essa região é , que é um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, vamos parametrizar a superfície . Como está expresso em função de , podemos escolher e como parâmetros. Então, temos:
Onde e variam dentro do cilindro .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o elemento de área . Para uma parametrização , o elemento de área é dado pelo módulo do produto vetorial das derivadas parciais em relação a e :