Troque a ordem de integração em:
Passo 1
Vamos trocar a ordem de integração na integral dupla
. Para isso, vamos utilizar os conceitos de cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração em integrais duplas. Precisamos entender os limites de integração atuais e determinar como eles se transformam quando a ordem é invertida.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. A integral original tem
variando de
a
, e para cada
,
varia de
a
. Vamos desenhar esses limites para entender melhor.
Passo 3
Desenhando no plano
:
- A reta vertical
e delimitam o intervalo de . - A curva
define o limite superior de para cada . -
começa em e vai até .
Passo 4
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar os limites de
em função de
. Observando a curva
, podemos resolver para
:
. Assim, para um dado
,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, determinamos os limites para
. A menor valor de
ocorre quando
:
. O maior valor de
ocorre quando
:
. Portanto,
varia de
a
.
Passo 6
Com os novos limites, a integral com a ordem de integração trocada fica:
Resposta
A ordem de integração trocada é: