Troque a ordem de integração em:
integral1^e integral0^ln x f(x, y) d y d x

Passo 1

Vamos trocar a ordem de integração na integral dupla integral1^e integral0^ln x f(x, y) , dy , dx. Para isso, vamos utilizar os conceitos de cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração em integrais duplas. Precisamos entender os limites de integração atuais e determinar como eles se transformam quando a ordem é invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano (x, y). A integral original tem x variando de 1 a e, e para cada x, y varia de 0 a ln x. Vamos desenhar esses limites para entender melhor.

Passo 3

Desenhando no plano (x, y):
  • A reta vertical x = 1 e x = e delimitam o intervalo de x.
  • A curva y = ln x define o limite superior de y para cada x.
  • y começa em 0 e vai até ln x.

Passo 4

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar os limites de x em função de y. Observando a curva y = ln x, podemos resolver para x: x = e^y. Assim, para um dado y, x varia de e^y até e.

Passo 5

Agora, determinamos os limites para y. A menor valor de y ocorre quando x = 1: y = ln 1 = 0. O maior valor de y ocorre quando x = e: y = ln e = 1. Portanto, y varia de 0 a 1.

Passo 6

Com os novos limites, a integral com a ordem de integração trocada fica:
integral0^1 integrale^y^e f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem de integração trocada é:
integral0^1 integrale^y^e f(x, y) , dx , dy

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