Sejam
a curva que é a interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima e
o campo vetorial dado por
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
; ou seja, calcule o trabalho de
ao longo de
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial usando o Teorema de Stokes. A pergunta nos dá uma curva
, que é a interseção de um cilindro
com o plano
, onde
. A curva está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Além disso, temos um campo vetorial
. Precisamos calcular a integral de linha
, que representa o trabalho de
ao longo de
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por essa curva. Vamos precisar entender o rotacional de
e escolher uma superfície adequada para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de
é dado por:
Vamos calcular o rotacional de
.
Passo 3
Calculando cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotacional de
é:
Passo 4
Agora, segundo o Teorema de Stokes, temos:
Onde
é uma superfície cuja borda é
, e
é o vetor normal unitário à superfície.
Vamos escolher
como a região do plano
delimitada pela curva
. Precisamos encontrar uma expressão para
e parametrizar a superfície para calcular a integral dupla.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano
. O vetor normal
pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano:
Para que
seja unitário, dividimos pelo seu módulo:
Então,
Passo 6
Agora, a integral dupla fica:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Sabemos que
é a interseção do cilindro
com o plano
. Para facilitar, podemos usar coordenadas polares no plano
, já que temos simetria cilíndrica.
Em coordenadas polares:
E a equação do plano nos dá:
A área
em coordenadas polares é
.
Passo 8
Substituindo na integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O trabalho de
ao longo de
é: