Sejam C a curva que é a interseção do cilindro x^2+y^2=a^2 com o plano x+y+z=b, b>0, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima e F o campo vetorial dado por F=(y^3,-x^3, z^3).
Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r; ou seja, calcule o trabalho de F ao longo de C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial usando o Teorema de Stokes. A pergunta nos dá uma curva C , que é a interseção de um cilindro x^2 + y^2 = a^2 com o plano x + y + z = b , onde b > 0 . A curva está orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Além disso, temos um campo vetorial F = (y^3, -x^3, z^3) . Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot dr , que representa o trabalho de F ao longo de C .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por essa curva. Vamos precisar entender o rotacional de F e escolher uma superfície adequada para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular o rotacional de F = (y^3, -x^3, z^3) .

Passo 3

Calculando cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial z^3partial y - partial (-x^3)partial z = 0 - 0 = 0
  1. Segunda componente:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial y^3partial z - partial z^3partial x = 0 - 0 = 0
  1. Terceira componente:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (-x^3)partial x - partial y^3partial y = (-3x^2) - (3y^2) = -3x^2 - 3y^2
Então, o rotacional de F é:
nabla times F = (0, 0, -3x^2 - 3y^2) = -3(x^2 + y^2) k

Passo 4

Agora, segundo o Teorema de Stokes, temos:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde S é uma superfície cuja borda é C , e n é o vetor normal unitário à superfície.
Vamos escolher S como a região do plano x + y + z = b delimitada pela curva C . Precisamos encontrar uma expressão para n e parametrizar a superfície para calcular a integral dupla.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano x + y + z = b . O vetor normal n pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano:
n = (1, 1, 1)
Para que n seja unitário, dividimos pelo seu módulo:
|n| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Então,
n = 1raiz3 (1, 1, 1)

Passo 6

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS -3(x^2 + y^2) cdot 1raiz3 , dS = -3raiz3 integral duplaS (x^2 + y^2) , dS
Simplificando:
-raiz3 integral duplaS (x^2 + y^2) , dS

Passo 7

Agora, vamos parametrizar a superfície S . Sabemos que C é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = a^2 com o plano x + y + z = b . Para facilitar, podemos usar coordenadas polares no plano x-y , já que temos simetria cilíndrica.
Em coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta
E a equação do plano nos dá:
z = b - x - y = b - r cos theta - r sin theta
A área dS em coordenadas polares é r , dr , dtheta .

Passo 8

Substituindo na integral dupla:
-raiz3 integral0^2pi integral0^a (r^2) cdot r , dr , dtheta = -raiz3 integral0^2pi integral0^a r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r :
integral0^a r^3 , dr = [ r^44 ]0^a = a^44

Passo 9

Agora, integramos em relação a theta :
-raiz3 cdot a^44 integral0^2pi dtheta = -raiz3 cdot a^44 cdot 2pi = -raiz3 pi a^42

Resposta

O trabalho de F ao longo de C é:
integralC F cdot dr = -raiz3 pi a^42

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