Sejam S a fronteira do sólido E, onde E é delimitado por o cone z^2=x^2+y^2 e por plano z=1. Seja S tem orientação positiva e F o campo vetorial dado por
F=(x^3, y^3, 12 z^2)
Use o Teorema de Gauss-Ostrogradsky para calcular integral duplaS F cdot n d S;
ou seja, calcule o fluxo de F através de S.

Passo 1

Vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície usando o Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Basicamente, vamos trabalhar com a fronteira de um sólido limitado por um cone e um plano, e usar algumas contas de cálculo para chegar na resposta. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss, calcular divergentes e fazer integrais em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo dentro do volume delimitado pela superfície. Ou seja, em vez de calcular o fluxo diretamente na superfície, podemos calcular uma integral mais fácil dentro do volume.
Matematicamente, o teorema é:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaE nabla cdot F , dV
Onde:
  • S é a superfície fechada.
  • F é o campo vetorial.
  • n é o vetor normal à superfície.
  • E é o volume dentro de S .
  • nabla cdot F é a divergência de F .

Passo 3

Vamos identificar o que temos no exercício:
  • Superfície S : A fronteira do sólido E , delimitado pelo cone z^2 = x^2 + y^2 e pelo plano z = 1 .
  • Campo Vetorial F : (x^3, y^3, 12 z^2) .
Nosso objetivo é calcular o fluxo integral duplaS F cdot n , dS usando o Teorema de Gauss.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F . A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde F = (Fx, Fy, Fz) = (x^3, y^3, 12 z^2) .
Calculando cada termo:
  • partial Fxpartial x = partialpartial x (x^3) = 3x^2
  • partial Fypartial y = partialpartial y (y^3) = 3y^2
  • partial Fzpartial z = partialpartial z (12 z^2) = z
Então,
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + z

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume E . Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região E é um cone.
Em coordenadas cilíndricas:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
O volume E é limitado pelo cone z^2 = x^2 + y^2 , que em coordenadas cilíndricas fica z = r , e pelo plano z = 1 .
Então, os limites de integração são:
  • theta varia de 0 a 2pi
  • r varia de 0 a z (já que z = r )
  • z varia de 0 a 1

Passo 6

Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas:
nabla cdot F = 3x^2 + 3y^2 + z = 3r^2 + z
A integral tripla fica então:
integral triplaE (3r^2 + z) , dV
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume dV é r , dr , dtheta , dz . Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 integral0^z (3r^2 + z) cdot r , dr , dz , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a r :
integral0^z (3r^2 + z) cdot r , dr = integral0^z 3r^3 + z r , dr
Calculando cada parte:
  • integral 3r^3 , dr = 34 r^4
  • integral z r , dr = z2 r^2
Avaliada de 0 a z :
34 z^4 + z2 z^2 = 34 z^4 + 12 z^3

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a z :
integral0^1 ( 34 z^4 + 12 z^3 ) dz
Calculando cada termo:
  • 34 integral z^4 , dz = 34 cdot z^55 = 320 z^5
  • 12 integral z^3 , dz = 12 cdot z^44 = 18 z^4
Avaliada de 0 a 1 :
320 (1) + 18 (1) = 320 + 18 = 1280 + 1080 = 2280 = 1140

Passo 9

Finalmente, integramos em relação a theta :
integral0^2pi dtheta cdot 1140 = 2pi cdot 1140 = 11pi20

Resposta

O fluxo de F através de S é 11pi20 .

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