Sejam
a fronteira do sólido
, onde
é delimitado por o cone
e por plano
. Seja
tem orientação positiva e
o campo vetorial dado por
Use o Teorema de Gauss-Ostrogradsky para calcular
;
ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
ou seja, calcule o fluxo de
Passo 1
Vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície usando o Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Basicamente, vamos trabalhar com a fronteira de um sólido limitado por um cone e um plano, e usar algumas contas de cálculo para chegar na resposta. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss, calcular divergentes e fazer integrais em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo dentro do volume delimitado pela superfície. Ou seja, em vez de calcular o fluxo diretamente na superfície, podemos calcular uma integral mais fácil dentro do volume.
Matematicamente, o teorema é:
Onde:
-
é a superfície fechada. -
é o campo vetorial. -
é o vetor normal à superfície. -
é o volume dentro de . -
é a divergência de .
Passo 3
Vamos identificar o que temos no exercício:
- Superfície
: A fronteira do sólido , delimitado pelo cone e pelo plano . - Campo Vetorial
: .
Nosso objetivo é calcular o fluxo
usando o Teorema de Gauss.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Onde
.
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
. Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região
é um cone.
Em coordenadas cilíndricas:
O volume
é limitado pelo cone
, que em coordenadas cilíndricas fica
, e pelo plano
.
Então, os limites de integração são:
-
varia de a -
varia de a (já que ) -
varia de a
Passo 6
Vamos reescrever a divergência em coordenadas cilíndricas:
A integral tripla fica então:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
é
. Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando cada parte:
Avaliada de
a
:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada termo:
Avaliada de
a
:
Passo 9
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.