Sejam S a fronteira do sólido E, onde E é a parte da bola x^2+y^2+z^2 <= 1 que está acima do plano z=0, S tem orientação positiva e F o campo vetorial dado por
F=(x z^2, x^2 y, y^2 z)
Use o Teorema de Gauss-Ostrogradsky para calcular integral duplaS F cdot n d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial F = (x z^2, x^2 y, y^2 z) através da superfície S, que é a fronteira da parte da bola x^2+y^2+z^2 <= 1 acima do plano z=0. Vamos usar o Teorema de Gauss-Ostrogradsky, que relaciona o fluxo de um campo vetorial pela superfície fechada com a integral da divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Para isso, precisamos conhecer o teorema e como calcular divergências e integrais sobre volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Ele diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaE nabla cdot F , dV
Ou seja, o fluxo de F através da superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume E que está dentro de S.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde F = (Fx, Fy, Fz). No nosso caso:
Fx = x z^2, Fy = x^2 y, Fz = y^2 z
Vamos derivar cada componente:
partial Fxpartial x = partialpartial x(x z^2) = z^2
partial Fypartial y = partialpartial y(x^2 y) = x^2
partial Fzpartial z = partialpartial z(y^2 z) = y^2
Então,
nabla cdot F = z^2 + x^2 + y^2

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume E, que é a parte da bola de raio 1 acima do plano z=0. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
x = rho sin phi cos theta
y = rho sin phi sin theta
z = rho cos phi
E o elemento de volume é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Como estamos na esfera de raio 1, rho vai de 0 a 1. O ângulo phi vai de 0 a pi/2 (pois só estamos acima de z=0) e theta de 0 a 2pi.

Passo 5

Vamos reescrever a divergência em coordenadas esféricas. Sabemos que:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2
Então,
nabla cdot F = rho^2
Agora, a integral fica:
integral triplaE rho^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^1 rho^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Porque dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta.

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em rho:
integral0^1 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^1 = 15
Agora, integramos em phi:
integral0^pi/2 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi/2 = -cos ( pi2 ) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 7

Multiplicando todos os resultados das integrais:
15 times 1 times 2pi = 2pi5

Resposta

O fluxo de F através de S é dfrac2pi5.

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