Sejam
a fronteira do sólido
, onde
é a parte da bola
que está acima do plano
tem orientação positiva e
o campo vetorial dado por
Use o Teorema de Gauss-Ostrogradsky para calcular
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a fronteira da parte da bola
acima do plano
. Vamos usar o Teorema de Gauss-Ostrogradsky, que relaciona o fluxo de um campo vetorial pela superfície fechada com a integral da divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Para isso, precisamos conhecer o teorema e como calcular divergências e integrais sobre volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Ele diz que:
Ou seja, o fluxo de
através da superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
que está dentro de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
. No nosso caso:
Vamos derivar cada componente:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume
, que é a parte da bola de raio 1 acima do plano
. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume é:
Como estamos na esfera de raio 1,
vai de 0 a 1. O ângulo
vai de 0 a
(pois só estamos acima de
) e
de 0 a
.
Passo 5
Vamos reescrever a divergência em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Então,
Agora, a integral fica:
Porque
.
Passo 6
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em
:
Agora, integramos em
:
Por fim, integramos em
:
Passo 7
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.