Calcule a integral de superfície integral duplaS(x+2 y-z) d S onde S é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular a integral de superfície integral duplaS(x + 2y - z) , dS , onde S é a parte do plano x + y + z = 1 que está no primeiro octante. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área dessa região no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a parte onde todas as coordenadas x, y e z são maiores ou iguais a zero. Então, queremos a porção do plano x + y + z = 1 onde x >= 0 , y >= 0 e z >= 0 .

Passo 3

Vamos reescrever a equação do plano para expressar z em função de x e y :
z = 1 - x - y
Isso nos permite parametrizar a superfície S em termos de x e y .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para x e y . No primeiro octante, x e y devem ser não negativos, e z = 1 - x - y também deve ser não negativo. Então:
1 - x - y >= 0 implies x + y <= 1
Isso define uma região triangular no plano xy com vértices em (0,0) , (1,0) e (0,1) .

Passo 5

A integral de superfície pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região D no plano xy :
integral duplaS(x + 2y - z) , dS = integral duplaD ( x + 2y - (1 - x - y) ) raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dx , dy
Vamos simplificar o integrando e calcular o termo sob a raiz quadrada.

Passo 6

Calculando as derivadas parciais de z :
partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1
Então, o termo sob a raiz fica:
raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Simplificando o integrando:
x + 2y - (1 - x - y) = x + 2y - 1 + x + y = 2x + 3y - 1
Agora, a integral fica:
raiz3 integral duplaD (2x + 3y - 1) , dx , dy

Passo 7

Vamos determinar os limites de integração. Para a região triangular :
Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo :
Simplificando:
Agora, integramos em relação a :
Substituindo e :
]

Resposta

A integral de superfície é igual a dfracraiz33 .

Exercícios relacionados