Calcule a integral de superfície onde é a parte do plano no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você precisa calcular a integral de superfície , onde é a parte do plano que está no primeiro octante. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a área dessa região no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a parte onde todas as coordenadas e são maiores ou iguais a zero. Então, queremos a porção do plano onde , e .
Passo 3
Vamos reescrever a equação do plano para expressar em função de e :
Isso nos permite parametrizar a superfície em termos de e .
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . No primeiro octante, e devem ser não negativos, e também deve ser não negativo. Então:
Isso define uma região triangular no plano com vértices em , e .
Passo 5
A integral de superfície pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região no plano :
Vamos simplificar o integrando e calcular o termo sob a raiz quadrada.
Passo 6
Calculando as derivadas parciais de :
Então, o termo sob a raiz fica:
Simplificando o integrando:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos determinar os limites de integração. Para a região triangular :