Exercício 4 Considerando a função f(x)=x^3-1, determine:
A área da região delimitada pelo gráfico da função f, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=2;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3-1
e pede a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=2.
O conteúdo aqui é cálculo de área pela integral definida, lembrando de usar valor absoluto quando f(x) ficar abaixo do eixo x.

Passo 2

Primeiro, achamos onde f muda de sinal em [0,2].
Resolvendo
x^3-1=0
vem x=1.
Para 0<= x<1, f(x)<0.
Para 1<x<=2, f(x)>0.

Passo 3

A área total é
integral0^2l|x^3-1r|,dx =integral0^1(1 - x^3),dx +integral1^2(x^3 - 1),dx

Passo 4

Calculemos a primeira integral:
integral0^1(1 - x^3),dx =l[x - tfracx^44r]0^1 =1 - tfrac14 =tfrac34

Passo 5

Agora a segunda integral:
integral1^2(x^3 - 1),dx =l[tfracx^44 - xr]1^2 =l(4 - 2r) - l(tfrac14 - 1r) =2 + tfrac34 =tfrac114

Passo 6

Somando as duas partes:
tfrac34 + tfrac114 =tfrac144 =tfrac72

Resposta

A área é tfrac72.

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