EXEMPLO Mostre que
lim (x, y) (0,0) sen(x^2-y^2)x^2+y^2
não existe.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que lim(x,y)to(0,0) sen(x^2 - y^2)x^2 + y^2 não existe. Esse é um problema de limites em funções de duas variáveis e a ideia é usar caminhos diferentes para ver se o valor muda.

Passo 2

Pra começar, lembra que pra um limite em R^2 existir, o resultado ao chegar em (0,0) tem que ser o mesmo por qualquer caminho que a gente escolha.

Passo 3

Vamos primeiro chegar por cima da reta y = x. Substituindo y = x na expressão, temos:

Passo 4

[\left.\frac{\operatorname{sen}(x^2 - y2)}{x2 + y^2}\right|_{y = x} = \frac{\operatorname{sen}(x^2 - x2)}{x2 + x^2} = \frac{\operatorname{sen}(0)}{2x^2} = 0.]

Passo 5

Então, ao aproximar por y = x, o limite é 0.

Passo 6

Agora, vamos pelo eixo y = 0. Substituindo y = 0 na expressão, fica:

Passo 7

[\left.\frac{\operatorname{sen}(x^2 - y2)}{x2 + y^2}\right|_{y = 0} = \frac{\operatorname{sen}(x2)}{x2}.]

Passo 8

E a gente sabe da regra de limites de funções de uma variável que limxto0 sen(x^2)x^2 = 1.

Passo 9

Como obtivemos valores diferentes ( 0 e 1), o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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