EXEMPLO Mostre que
não existe.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que
não existe. Esse é um problema de limites em funções de duas variáveis e a ideia é usar caminhos diferentes para ver se o valor muda.
Passo 2
Pra começar, lembra que pra um limite em
existir, o resultado ao chegar em
tem que ser o mesmo por qualquer caminho que a gente escolha.
Passo 3
Vamos primeiro chegar por cima da reta
. Substituindo
na expressão, temos:
Passo 4
[\left.\frac{\operatorname{sen}(x^2 - y2)}{x2 + y^2}\right|_{y = x} = \frac{\operatorname{sen}(x^2 - x2)}{x2 + x^2} = \frac{\operatorname{sen}(0)}{2x^2} = 0.]
Passo 5
Então, ao aproximar por
, o limite é
.
Passo 6
Agora, vamos pelo eixo
. Substituindo
na expressão, fica:
Passo 7
[\left.\frac{\operatorname{sen}(x^2 - y2)}{x2 + y^2}\right|_{y = 0} = \frac{\operatorname{sen}(x2)}{x2}.]
Passo 8
E a gente sabe da regra de limites de funções de uma variável que
.
Passo 9
Como obtivemos valores diferentes (
e
), o limite não pode existir.
Resposta
O limite não existe.