Calcule a integral de superfície integral duplaS raiz1+x^2+y^2 d S, onde S é a superfície definida por r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), v), com 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 4 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaSraiz1+x^2+y^2;dS
onde S é dada pela parametrização
r(u,v)=(ucos v,;usin v,;v),
com 0<= u<=2 e 0<= v<=4pi. Vamos usar a definição
integral duplaSf(x,y,z),dS =integral duplaDfl( r(u,v)r),llvert rutimes rvrrvert,du,dv

Passo 2

Substituímos x=ucos v e y=usin v na função integrando:
raiz1+x^2+y^2 =raiz1+u^2cos^2v+u^2sin^2v =raiz1+u^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
ru=(cos v,;sin v,;0), rv=(-usin v,;ucos v,;1)

Passo 4

O produto vetorial é
rutimes rv =(sin v,;-,cos v,;u),
cuja norma vale
llvert rutimes rvrrvert =raizsin^2v+cos^2v+u^2 =raiz1+u^2

Passo 5

Portanto a integral de superfície torna-se
integral duplaDraiz1+u^2;raiz1+u^2;du,dv =integralv=0^4pi!integralu=0^2(1+u^2),du,dv

Passo 6

Como a integral se separa, temos
integralv=0^4pidv;integralu=0^2(1+u^2),du =4pil[u+tfracu^33r]0^2 =4pil(2+tfrac83r) = 56pi3

Resposta

56pi3

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