Calcule a integral de superficie integral duplaS(x^2+y^2) d S, onde S é a superficie com equação vetorial r(u, v)=2 u v i+(u^2-v^2) j+(u^2+v^2) k, 0 <= u <= 1,0 <= v <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de superfície integral duplaS(x^2+y^2) dS, onde a superfície S é definida pela equação vetorial r(u, v) = 2uv,i + (u^2 - v^2)j + (u^2 + v^2)k com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de superfície usando parametrização. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais, produto vetorial e como montar a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície S. A função vetorial r(u, v) nos dá as coordenadas x, y e z em termos de u e v:
x = 2uv, y = u^2 - v^2, z = u^2 + v^2
Isso significa que qualquer ponto na superfície S pode ser descrito por esses valores de x, y e z para certos u e v dentro dos limites dados.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos achar o elemento de área dS. Isso é feito calculando o módulo do produto vetorial das derivadas parciais de r em relação a u e v. Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, derivamos r em relação a u:
ru = partial rpartial u = 2v,i + 2u,j + 2u,k
Depois, derivamos r em relação a v:
rv = partial rpartial v = 2u,i - 2v,j + 2v,k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv. O produto vetorial de dois vetores a = axi + ayj + azk e b = bxi + byj + bzk é dado por:
a times b = (ay bz - az by)i - (ax bz - az bx)j + (ax by - ay bx)k
Aplicando isso às nossas derivadas:
ru times rv = (2u cdot 2v - 2u cdot (-2v))i - (2v cdot 2v - 2u cdot 2u)j + (2v cdot (-2v) - 2u cdot 2u)k
Simplificando:
ru times rv = (4uv + 4uv)i - (4v^2 - 4u^2)j + (-4v^2 - 4u^2)k = 8uv,i - (4v^2 - 4u^2)j - (4u^2 + 4v^2)k

Passo 5

Precisamos do módulo desse vetor para encontrar dS:
|ru times rv| = raiz(8uv)^2 + (-4v^2 + 4u^2)^2 + (-4u^2 - 4v^2)^2
Vamos calcular cada termo:
(8uv)^2 = 64u^2v^2
(-4v^2 + 4u^2)^2 = 16v^4 - 32u^2v^2 + 16u^4
(-4u^2 - 4v^2)^2 = 16u^4 + 32u^2v^2 + 16v^4
Somando tudo:
64u^2v^2 + 16v^4 - 32u^2v^2 + 16u^4 + 16u^4 + 32u^2v^2 + 16v^4 = 32u^4 + 32v^4 + 64u^2v^2
Então:
|ru times rv| = raiz32u^4 + 32v^4 + 64u^2v^2 = raiz32(u^4 + v^4 + 2u^2v^2) = raiz32(u^2 + v^2)^2 = raiz32 cdot (u^2 + v^2) = 4raiz2(u^2 + v^2)

Passo 6

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando, x^2 + y^2, em termos de u e v:
x = 2uv Rightarrow x^2 = 4u^2v^2
y = u^2 - v^2 Rightarrow y^2 = (u^2 - v^2)^2 = u^4 - 2u^2v^2 + v^4
Então:
x^2 + y^2 = 4u^2v^2 + u^4 - 2u^2v^2 + v^4 = u^4 + 2u^2v^2 + v^4 = (u^2 + v^2)^2

Passo 7

Agora, montamos a integral dupla usando dS = |ru times rv| du dv = 4raiz2(u^2 + v^2) du dv:
integral duplaS (x^2 + y^2) dS = integral0^1 integral0^1 (u^2 + v^2)^2 cdot 4raiz2(u^2 + v^2) , du , dv = 4raiz2 integral0^1 integral0^1 (u^2 + v^2)^3 , du , dv

Passo 8

Vamos resolver a integral integral0^1 integral0^1 (u^2 + v^2)^3 , du , dv. Expandindo (u^2 + v^2)^3:
(u^2 + v^2)^3 = u^6 + 3u^4v^2 + 3u^2v^4 + v^6
Então a integral fica:
integral0^1 integral0^1 (u^6 + 3u^4v^2 + 3u^2v^4 + v^6) du , dv = integral0^1 (integral0^1 u^6 , du + 3v^2 integral0^1 u^4 , du + 3v^4 integral0^1 u^2 , du + integral0^1 v^6 , du ) dv
Calculando cada integral interna:
integral0^1 u^6 , du = 17
integral0^1 u^4 , du = 15
integral0^1 u^2 , du = 13
integral0^1 v^6 , du = v^6 cdot 1 = v^6
Substituindo de volta:
integral0^1 (17 + 3v^2 cdot 15 + 3v^4 cdot 13 + v^6 ) dv = integral0^1 (17 + 35v^2 + v^4 + v^6 ) dv
Agora, integramos termo a termo:
17 integral0^1 dv = 17
35 integral0^1 v^2 , dv = 35 cdot 13 = 15
integral0^1 v^4 , dv = 15
integral0^1 v^6 , dv = 17
Somando tudo:
17 + 15 + 15 + 17 = 27 + 25 = 10 + 1435 = 2435

Passo 9

Voltando à integral original:
4raiz2 cdot 2435 = 96raiz235

Resposta

A integral de superfície vale 96raiz235.

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