Calcule a integral de superficie
, onde
é a superficie com equação vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de superfície
, onde a superfície
é definida pela equação vetorial
com
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais de superfície usando parametrização. Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais, produto vetorial e como montar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície
. A função vetorial
nos dá as coordenadas
,
e
em termos de
e
:
Isso significa que qualquer ponto na superfície
pode ser descrito por esses valores de
,
e
para certos
e
dentro dos limites dados.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos achar o elemento de área
. Isso é feito calculando o módulo do produto vetorial das derivadas parciais de
em relação a
e
. Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas:
Simplificando:
Passo 5
Precisamos do módulo desse vetor para encontrar
:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Então:
Passo 6
Agora, vamos expressar a função que estamos integrando,
, em termos de
e
:
Então:
Passo 7
Agora, montamos a integral dupla usando
:
Passo 8
Vamos resolver a integral
. Expandindo
:
Então a integral fica:
Calculando cada integral interna:
Substituindo de volta:
Agora, integramos termo a termo:
Somando tudo:
Passo 9
Voltando à integral original:
Resposta
A integral de superfície vale
.