Transforme a equação/problema de valor inicial dada(o) em um sistema/problema de valor inicial de equações de primeira ordem
u^prime prime+p(t) u^prime+q(t) u=g(t), u(0)=u0, u^prime(0)=u0^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é transformar essa equação em um sistema de equações de primeira ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais e como quebrar uma equação de ordem superior em equações de primeira ordem. Vamos juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação de segunda ordem envolve a derivada segunda de uma função, no caso, u'' . Para transformar isso em um sistema de primeira ordem, vamos definir variáveis novas que representem as derivadas da função original.

Passo 3

Vamos definir:
y1 = u
y2 = u'
Agora, temos duas funções y1 e y2 que representam u e sua primeira derivada, respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos expressar as derivadas dessas novas variáveis:
y1' = u' = y2
y2' = u''
A nossa equação original é u'' + p(t) u' + q(t) u = g(t) . Vamos isolar u'' :
u'' = -p(t) u' - q(t) u + g(t)
Substituindo pelas novas variáveis:
y2' = -p(t) y2 - q(t) y1 + g(t)

Passo 5

Agora, temos nosso sistema de equações de primeira ordem:
y1' = y2 y2' = -p(t) y2 - q(t) y1 + g(t)
Além disso, vamos transformar as condições iniciais:
y1(0) = u(0) = u0
y2(0) = u'(0) = u0'

Resposta

O sistema de equações de primeira ordem equivalente é:
y1' = y2, y2' = -p(t) y2 - q(t) y1 + g(t),
com as condições iniciais y1(0) = u0 e y2(0) = u0' .

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