Transforme a equação/problema de valor inicial dada(o) em um sistema/problema de valor inicial de equações de primeira ordem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é transformar essa equação em um sistema de equações de primeira ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais e como quebrar uma equação de ordem superior em equações de primeira ordem. Vamos juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma equação de segunda ordem envolve a derivada segunda de uma função, no caso,
. Para transformar isso em um sistema de primeira ordem, vamos definir variáveis novas que representem as derivadas da função original.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, temos duas funções
e
que representam
e sua primeira derivada, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos expressar as derivadas dessas novas variáveis:
A nossa equação original é
. Vamos isolar
:
Substituindo pelas novas variáveis:
Passo 5
Agora, temos nosso sistema de equações de primeira ordem:
Além disso, vamos transformar as condições iniciais:
Resposta
O sistema de equações de primeira ordem equivalente é:
com as condições iniciais
e
.