Solve the following logarithmic equations.
Find all pairs of integers (x, y) satisfying
4^xy+yx=32 and log 3(x-y)+log 3(x+y)=1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pares de inteiros (x, y) que satisfazem as equações:
4^xy+yx = 32 e log3(x - y) + log3(x + y) = 1
Vamos precisar usar propriedades de exponenciais e logaritmos para resolver essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação exponencial:
4^xy+yx = 32
Sabemos que 4 = 2^2 e 32 = 2^5, então podemos reescrever a equação como:
(2^2)^xy+yx = 2^5
Aplicando a propriedade de potências (a^m)^n = a^mn, temos:
2^2(xy + yx) = 2^5
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
2(xy + yx) = 5
Dividindo ambos os lados por 2:
xy + yx = 52

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação logarítmica:
log3(x - y) + log3(x + y) = 1
Usando a propriedade dos logaritmos que diz logb a + logb c = logb (ac), temos:
log3[(x - y)(x + y)] = 1
Isso significa que:
(x - y)(x + y) = 3^1 = 3

Passo 4

Agora temos duas equações para resolver:
  1. xy + yx = 52
  2. (x - y)(x + y) = 3
Vamos resolver a segunda equação primeiro pois ela limita nossas possíveis soluções.
A equação (x - y)(x + y) = 3 nos dá produtos que resultam em 3. Como estamos procurando pares de inteiros, as possíveis combinações são:
  • x - y = 1 e x + y = 3
  • x - y = 3 e x + y = 1
  • x - y = -1 e x + y = -3
  • x - y = -3 e x + y = -1
Vamos resolver cada caso.

Passo 5

Caso 1: x - y = 1 e x + y = 3
Somando as duas equações:
(x - y) + (x + y) = 1 + 3 Rightarrow 2x = 4 Rightarrow x = 2
Substituindo x = 2 na primeira equação:
2 - y = 1 Rightarrow y = 1
Verificando na primeira equação:
21 + 12 = 2 + 0.5 = 2.5 = 52
Então, (x, y) = (2, 1) é uma solução válida.

Passo 6

Caso 2: x - y = 3 e x + y = 1
Somando as duas equações:
(x - y) + (x + y) = 3 + 1 Rightarrow 2x = 4 Rightarrow x = 2
Substituindo x = 2 na primeira equação:
2 - y = 3 Rightarrow y = -1
Verificando na primeira equação:
2-1 + -12 = -2 - 0.5 = -2.5 neq 52
Portanto, (x, y) = (2, -1) não satisfaz a primeira equação.

Passo 7

Caso 3: x - y = -1 e x + y = -3
Somando as duas equações:
(x - y) + (x + y) = -1 + (-3) Rightarrow 2x = -4 Rightarrow x = -2
Substituindo x = -2 na primeira equação:
-2 - y = -1 Rightarrow y = -1
Verificando na primeira equação:
-2-1 + -1-2 = 2 + 0.5 = 2.5 = 52
Então, (x, y) = (-2, -1) é uma solução válida.

Passo 8

Caso 4: x - y = -3 e x + y = -1
Somando as duas equações:
(x - y) + (x + y) = -3 + (-1) Rightarrow 2x = -4 Rightarrow x = -2
Substituindo x = -2 na primeira equação:
-2 - y = -3 Rightarrow y = 1
Verificando na primeira equação:
-21 + 1-2 = -2 - 0.5 = -2.5 neq 52
Portanto, (x, y) = (-2, 1) não satisfaz a primeira equação.

Resposta

Os pares de inteiros que satisfazem as equações são (x, y) = (2, 1) e (x, y) = (-2, -1).

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