Solve the following logarithmic equations.
Find all pairs of integers
satisfying
Find all pairs of integers
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os pares de inteiros
que satisfazem as equações:
Vamos precisar usar propriedades de exponenciais e logaritmos para resolver essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação exponencial:
Sabemos que
e
, então podemos reescrever a equação como:
Aplicando a propriedade de potências
, temos:
Como as bases são iguais, os expoentes também devem ser iguais:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação logarítmica:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, temos:
Isso significa que:
Passo 4
Agora temos duas equações para resolver:
Vamos resolver a segunda equação primeiro pois ela limita nossas possíveis soluções.
A equação
nos dá produtos que resultam em 3. Como estamos procurando pares de inteiros, as possíveis combinações são:
-
e -
e -
e -
e
Vamos resolver cada caso.
Passo 5
Caso 1:
e
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Verificando na primeira equação:
Então,
é uma solução válida.
Passo 6
Caso 2:
e
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Verificando na primeira equação:
Portanto,
não satisfaz a primeira equação.
Passo 7
Caso 3:
e
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Verificando na primeira equação:
Então,
é uma solução válida.
Passo 8
Caso 4:
e
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Verificando na primeira equação:
Portanto,
não satisfaz a primeira equação.
Resposta
Os pares de inteiros que satisfazem as equações são
e
.