Show that log 2 3 is irrational. Hint: Assume that log 2 3 can be written as a reduced fraction of the form mn, where m and n are nonzero integers. Arrive at a contradiction.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o logaritmo de 3 na base 2, escrito como log2 3, é um número irracional. Para isso, vamos usar um método de prova chamado “contradição”. Isso significa que vamos supor que log2 3 pode ser escrito como uma fração mn, onde m e n são números inteiros sem fatores comuns, e ver se isso leva a algum problema.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que log2 3 = mn, onde m e n são inteiros positivos e a fração está na sua forma mais simples (ou seja, m e n não têm divisores comuns além de 1).

Passo 3

Sabemos que, por definição de logaritmo, se log2 3 = mn, então podemos reescrever isso como uma potência: 2^mn = 3.

Passo 4

Vamos elevar ambos os lados da equação à potência n para eliminar o denominador na exponenciação:
(2^mn)^n = 3^n
Isso simplifica para:
2^m = 3^n

Passo 5

Agora, analisamos a equação 2^m = 3^n. À esquerda, temos uma potência de 2, que sempre resulta em um número par. À direita, uma potência de 3, que sempre resulta em um número ímpar.

Passo 6

Mas isso é um problema, porque um número par nunca pode ser igual a um número ímpar. Isso cria uma contradição na nossa suposição inicial de que log2 3 pode ser escrito como mn com m e n inteiros.

Passo 7

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição estava errada. Portanto, log2 3 não pode ser escrito como uma fração mn com m e n inteiros, o que significa que log2 3 é irracional.

Resposta

Portanto, mostramos que log2 3 é um número irracional.

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