Show that
is irrational. Hint: Assume that
can be written as a reduced fraction of the form
, where
and
are nonzero integers. Arrive at a contradiction.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o logaritmo de 3 na base 2, escrito como
, é um número irracional. Para isso, vamos usar um método de prova chamado “contradição”. Isso significa que vamos supor que
pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são números inteiros sem fatores comuns, e ver se isso leva a algum problema.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
, onde
e
são inteiros positivos e a fração está na sua forma mais simples (ou seja,
e
não têm divisores comuns além de 1).
Passo 3
Sabemos que, por definição de logaritmo, se
, então podemos reescrever isso como uma potência:
.
Passo 4
Vamos elevar ambos os lados da equação à potência
para eliminar o denominador na exponenciação:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, analisamos a equação
. À esquerda, temos uma potência de 2, que sempre resulta em um número par. À direita, uma potência de 3, que sempre resulta em um número ímpar.
Passo 6
Mas isso é um problema, porque um número par nunca pode ser igual a um número ímpar. Isso cria uma contradição na nossa suposição inicial de que
pode ser escrito como
com
e
inteiros.
Passo 7
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição estava errada. Portanto,
não pode ser escrito como uma fração
com
e
inteiros, o que significa que
é irracional.
Resposta
Portanto, mostramos que
é um número irracional.