Calcule a integral de superfície integralegral duplaS f d S, onde a superfície S e a função escalar são dados por:
f(x, y, z)=x y e S: sigma(u, v)=(u-v, u+v, 2 u+v+1) com (u, v) in D: 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= u.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície parametrizada. O conteúdo é “integrais de superfície de funções escalares” e vamos usar a fórmula
integral duplaSf,dS ;=;integral duplaD fl(sigma(u,v)r),l|sigmautimessigmavr|,du,dv,
onde sigma(u,v) é a parametrização de S e D o domínio em uv.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de sigma e o vetor normal:
sigma(u,v)=(u-v,;u+v,;2u+v+1)
Então
sigmau=(1,1,2), sigmav=(-1,1,1)
O produto vetorial é
sigmautimessigmav = i&j&k 1&1&2 -1&1&1 =(-1,,-3,,2)
e seu módulo
l|sigmautimessigmavr| =raiz(-1)^2+(-3)^2+2^2 =raiz14

Passo 3

Expressar f na parametrização e montar a integral sobre D:
f(x,y,z)=xy Longrightarrow fl(sigma(u,v)r)=(u-v)(u+v)=u^2-v^2
Como D=(u,v)mid 0<= v<= u<=1, temos
integral duplaSf,dS =integral duplaD(u^2-v^2),raiz14;dv,du =raiz14integralu=0^1integralv=0^u(u^2-v^2),dv,du

Passo 4

Calcular a integral iterada:
integralv=0^u(u^2-v^2),dv =u^2cdot u-u^33 =23u^3
Então
raiz14integral0^123u^3,du =raiz14cdot23cdot14 =raiz146

Resposta

raiz146

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