Calcule a integral de superfície integralegral duplaS f d S, onde a superfície S e a função escalar são dados por:
f(x, y, z)=y z e S é a parte do plano z=y+3 que está dentro do cilindro x^2+y^prime 2=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de uma função escalar sobre a porção do plano ,z=y+3 dentro do cilindro x^2+y^2=1.
Conteúdo: integral de superfície de escalares via projeção no plano xy. Vamos usar a fórmula
integral duplaSf,dS ;=;integral duplaD fl(x,y,z(x,y)r),raiz1+zx^2+zy^2;dA,
onde D é a projeção de S no plano xy.

Passo 2

Parametrizamos S como gráfico z=y+3. Então
zx = 0, zy = 1,
logo o fator de área é
raiz1+zx^2+zy^2 =raiz1+0^2+1^2 =raiz2

Passo 3

Em S, a função vale
f(x,y,z) = y,z = y,(y+3) = y^2 + 3y
A região D é o disco x^2+y^2<=1. Assim
integral duplaSf,dS =raiz2integral duplaDl(y^2+3yr),dA

Passo 4

Passamos a coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. Então
y^2 = r^2sin^2theta, 3y = 3rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Fica
integral duplaD(y^2+3y),dA =integral0^2pi!integral0^1l(r^2sin^2theta +3rsinthetar),r,dr,dtheta

Passo 5

Calculemos os integrais em r:
integral0^1r^3,dr = tfrac14, integral0^13r^2,dr = 1
Logo
integral duplaD(y^2+3y),dA =integral0^2pil(tfrac14sin^2theta +1cdotsinthetar),dtheta =tfrac14integral0^2pisin^2theta,dtheta +integral0^2pisintheta,dtheta
Sabendo que integral0^2pisintheta,dtheta=0 e integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi, obtemos
integral duplaD(y^2+3y),dA = tfrac14pi
Multiplicando pelo fator raiz2, a integral de superfície é
integral duplaSf,dS =raiz2;l(tfracpi4r) =piraiz24

Resposta

piraiz24

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