Verifique se integral0^+infty d zz^2+3 z+2 converge. Se for o caso calcule-a

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência do integral impróprio
integral0^+infty dzz^2+3z+2
e, se convergir, calcular seu valor.
Conteúdo: integrais impróprias no infinito e em pontos de descontinuidade (aqui não há singularidade em [0,infty)), e técnica de frações parciais para integrar funções racionais.

Passo 2

Verificamos se há singularidades em [0,infty): o denominador
z^2+3z+2=(z+1)(z+2)
zera em z=-1 e z=-2, ambas fora do intervalo de integração. Em ztoinfty,
1z^2+3z+2sim1z^2,
que é integrável no infinito. Logo não há problema de divergência em 0 nem em infty, cabendo calcular o valor do integral.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1(z+1)(z+2)=Az+1+Bz+2
Temos
A(z+2)+B(z+1)=1Longrightarrow A+B=0, 2A+B=1,
cuja solução é A=1, B=-1. Portanto
1z^2+3z+2 =1z+1-1z+2

Passo 4

Integramos de 0 até um limite finito R:
integral0^Rl(1z+1-1z+2r),dz =l[ln(z+1)-ln(z+2)r]0^R =lnR+1R+2-ln12

Passo 5

Fazendo Rtoinfty, observa-se
R+1R+2to1Longrightarrow lnR+1R+2to0,
então o integral tende a
0-l(-ln2r)=ln2
Como o limite é finito, o integral converge.

Resposta

A integral converge e vale ln2.

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