determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial e quer saber se ela é exata. Se for, a gente também vai resolvê-la. A equação que você mandou é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para isso. Precisamos verificar se as derivadas parciais das funções que acompanham
e
estão iguais. Se sim, é exata e podemos encontrar uma função potencial que resolve a equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que acompanham
e
:
Essas funções são chamadas de coeficientes da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais dessas funções:
Note que ambas as derivadas parciais são iguais:
.
Passo 4
Como
, a equação é exata! Isso significa que existe uma função
tal que:
Nossa missão agora é encontrar essa função
.
Passo 5
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, juntamos tudo para obter a função potencial
:
A equação exata nos diz que
. Então, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante.