determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
(e^x sen y-3 x^2) d x+(e^x cos y+y^-2 / 3 / 3) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial e quer saber se ela é exata. Se for, a gente também vai resolvê-la. A equação que você mandou é:
(e^x sin y - 3 x^2) dx + (e^x cos y + y^-2/3) dy = 0
Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para isso. Precisamos verificar se as derivadas parciais das funções que acompanham dx e dy estão iguais. Se sim, é exata e podemos encontrar uma função potencial que resolve a equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que acompanham dx e dy :
M(x, y) = e^x sin y - 3 x^2
N(x, y) = e^x cos y + y^-2/3
Essas funções são chamadas de coeficientes da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais dessas funções:
partial Mpartial y = e^x cos y
partial Npartial x = e^x cos y
Note que ambas as derivadas parciais são iguais: e^x cos y .

Passo 4

Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é exata! Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:
dF = M dx + N dy
Nossa missão agora é encontrar essa função F(x, y) .

Passo 5

Para encontrar F(x, y) , integramos M em relação a x :
F(x, y) = integral M dx = integral (e^x sin y - 3 x^2) dx = e^x sin y - x^3 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende só de y .

Passo 6

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N :
partial Fpartial y = e^x cos y + g'(y) = N = e^x cos y + y^-2/3
Isso nos dá:
g'(y) = y^-2/3
Integrando g'(y) em relação a y :
g(y) = integral y^-2/3 dy = 3 y^1/3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, juntamos tudo para obter a função potencial F(x, y) :
F(x, y) = e^x sin y - x^3 + 3 y^1/3 + C
A equação exata nos diz que F(x, y) = constante . Então, a solução geral da equação diferencial é:
e^x sin y - x^3 + 3 y^1/3 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
e^x sin y - x^3 + 3 y^1/3 = C
onde C é uma constante.

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