Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
O conteúdo é redução de ordem para ODEs em que a derivada segunda depende apenas de
. Vamos usar a substituição
para transformar em uma ODE de primeira ordem em
.
Passo 2
Com
segue que
logo a equação vira
Separando variáveis:
Passo 3
Fazemos frações parciais:
então
Calculando cada termo:
Logo obtemos
Passo 4
Reescrevendo em forma exponencial:
com
. Elevando ao quadrado e isolando
:
Passo 5
Agora integramos para achar
:
Fazendo
dá
, então
Voltando a
:
Resposta
onde
e
são constantes de integração.