Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
y^prime prime=(y^prime)^3+y^prime

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' = l(y'r)^3 + y'
O conteúdo é redução de ordem para ODEs em que a derivada segunda depende apenas de y'. Vamos usar a substituição
p = y'
para transformar em uma ODE de primeira ordem em p.

Passo 2

Com p=y' segue que
y'' = dpdx,
logo a equação vira
dpdx = p^3 + p
Separando variáveis:
dpp,(p^2+1) = dx

Passo 3

Fazemos frações parciais:
1p(p^2+1) = 1p - pp^2+1,
então
integraldpp(p^2+1) = integrall(1p - pp^2+1r)dp = integral1p,dp ;-;integralpp^2+1,dp
Calculando cada termo:
integral1p,dp = ln|p|, integralpp^2+1,dp = tfrac12lnl(p^2+1r)
Logo obtemos
ln|p| - tfrac12lnl(p^2+1r) = x + C1

Passo 4

Reescrevendo em forma exponencial:
ln!l(|p|raizp^2+1r) = x + C1 ;Longrightarrow; |p|raizp^2+1 = C,e^x,
com C=e^C1>0. Elevando ao quadrado e isolando p:
p^2 = C^2e^2x1 - C^2e^2x Longrightarrow p = y' = pmC,e^xraiz1 - C^2e^2x

Passo 5

Agora integramos para achar y:
y = integral y',dx = pmintegral C,e^xraiz1 - C^2e^2x,dx
Fazendo u = C,e^x du = C,e^xdx, então
y = pmintegral duraiz1 - u^2 + C2 = pmarcsin(u) + C2
Voltando a u=C,e^x:
y(x) = C2 pm arcsin!l(C,e^xr)

Resposta

y(x) = C2 pm arcsinl(C,e^xr),
onde C e C2 são constantes de integração.

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