Calcule a integral de superfície I=integral duplaS x y d S onde a superfície é parte do plano x+y+z=1 uqe fica no primeiro octante.
a) (1,25) utilizando a fórmula implícita e S=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=1.
b) (1,25) utlizando a fórmula paramétrica F(u, v)=(u, v, 1-u-v).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
I=integral duplaSx,y,dS
onde S é a parte do plano x+y+z=1 contida no primeiro octante. Vamos usar dois métodos: (a) fórmula implícita e (b) fórmula paramétrica.

Passo 2

Para a fórmula implícita, escrevemos o plano como
G(x,y,z)=x+y+z-1=0
Temos nabla G=(1,1,1) e partial G/partial z=1. A projeção natural de S é o domínio
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1
A diferencial de área é
dS=|nabla G|l|partial G/partial zr|,dx,dy =raiz1^2+1^2+1^2;dx,dy =raiz3;dx,dy

Passo 3

Então a integral fica
I =integral duplaDx,y;l(raiz3r),dx,dy =raiz3integral0^1!integral0^1-xx,y,dy,dx

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna:
integral0^1-xy,dy =(1-x)^22
Logo
I =raiz3integral0^1x;(1-x)^22,dx =raiz32integral0^1x,(1-x)^2,dx
Expandindo e integrando:
integral0^1x,(1-x)^2,dx =integral0^1(x-2x^2+x^3),dx =l[tfracx^22-tfrac2x^33+tfracx^44r]0^1 =12-23+14 =112
Portanto
I =raiz32cdot112 =raiz324

Passo 5

Concluímos pelo método implícito que
I=raiz324

Passo 6

Agora usemos a parametrização
F(u,v)=(u,v,1-u-v),
onde (u,v) varia em D igual ao passo anterior.

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais:
Fu=(1,0,-1), Fv=(0,1,-1)
O produto vetorial é
Futimes Fv =(1,0,-1)times(0,1,-1)=(1,1,1),
e sua norma é |Futimes Fv|=raiz3.

Passo 8

A integral em termos de (u,v) é
I =integral duplaDu,v;|Futimes Fv|,du,dv =raiz3integral0^1!integral0^1-uu,v,dv,du,
que é exatamente a mesma integral do método implícito.

Passo 9

Repetindo o cálculo de integral0^1!integral0^1-uu,v,dv,du chegamos a 1/24. Logo
I=raiz3times124 =raiz324

Passo 10

Ambos os métodos dão o mesmo resultado, confirmando a consistência do cálculo.

Resposta

I = raiz324

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