Integre a função dada sobre a superfície paramétrica
a) g(x, y, z)=x+y+z, sobre a porção do plano x+y+z=3 que está no primeiro octante. I=integral duplaS g(x, y, z) d S

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
I=integral duplaSg(x,y,z),dS
onde g(x,y,z)=x+y+z e S é a porção do plano
x+y+z=3
no primeiro octante.
Conteúdo: integral de superfície de função escalar sobre superfície paramétrica (ou gráfica).

Passo 2

Vamos usar a representação gráfica do plano como z=3-x-y. Então podemos parametrizar S por
r(x,y) = l(x,;y,;3 - x - yr)
com domínio projetado no plano xy:
R = l(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=3r,
um triângulo de vértices (0,0), (3,0) e (0,3).

Passo 3

Na parametrização, a função valendo em S fica
gl( r(x,y)r) = x + y + l(3 - x - yr) = 3,
ou seja, o integrando é a constante 3.

Passo 4

Precisamos do elemento de área
dS = l| rx times ryr|,dx,dy
Calculando as derivadas:
rx = (1,0,-1), ry = (0,1,-1)
O produto vetorial e seu módulo são
rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = (1,1,1),
l| rx times ryr| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Logo
dS = raiz3,dx,dy

Passo 5

Agora a integral se reduz a
I = integral duplaR 3 ,l(raiz3r),dx,dy = 3raiz3,integral duplaR dx,dy
Como R é um triângulo de base e altura iguais a 3, sua área é
Area(R) = 12times3times3 = 92
Portanto
I = 3raiz3 times 92 = 27raiz32

Resposta

I = 27raiz32

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