Considere a equação logĂstica:
com taxa de crescimento intrĂnseco
e nĂvel de saturação
.
(a) Ache todas as soluções de equilîbrio.
(b) Ache a solução do problema de valor inicial com
.
(c) Qual Ă© o maior intervalo de tempo no qual Ă© possĂvel definir a solução do item anterior?
[Resp: soluções de equilibrio:
. Solução do P.V.I.
, definida em
.
(a) Ache todas as soluções de equilîbrio.
(b) Ache a solução do problema de valor inicial com
(c) Qual Ă© o maior intervalo de tempo no qual Ă© possĂvel definir a solução do item anterior?
[Resp: soluções de equilibrio:
Passo 1
O enunciado trata da equação logística
com
e
. Precisamos encontrar
– (a) as soluções de equilíbrio (valores constantes de que anulem o lado direito),
– (b) a solução explícita que satisfaz (usando separação de variáveis e constantes de integração),
– (c) o maior intervalo de tempo em que essa solução está bem definida (evitando divisão por zero).
– (a) as soluções de equilíbrio (valores constantes de
– (b) a solução explícita que satisfaz
– (c) o maior intervalo de tempo em que essa solução está bem definida (evitando divisão por zero).
Passo 2
Para as soluções de equilíbrio fazemos
Logo os pontos de equilíbrio são as raízes de
, ou seja
Passo 3
Para a solução geral separamos variáveis:
Usando frações parciais
temos
Passo 4
Colocando em forma exponencial obtemos
onde
. Assim
Para
vale
Substituindo e simplificando:
Passo 5
A solução falha onde o denominador zera, ou seja
Como queremos o maior intervalo contendo
, e
, o domínio máximo é
Resposta
(a) As soluções de equilíbrio são
(b) A solução do PVI
é
(c) O maior intervalo de definição é