Considere a equação logística:
d yd t=r(1-yK) y
com taxa de crescimento intrínseco r=1 e nível de saturação K=1.
(a) Ache todas as soluções de equilîbrio.
(b) Ache a solução do problema de valor inicial com y(0)=3.
(c) Qual é o maior intervalo de tempo no qual é possível definir a solução do item anterior?
[Resp: soluções de equilibrio: y0=0 ; y1=1. Solução do P.V.I. y(x)=33-2 e^-x, definida em (ln (2 / 3), infty)].

Passo 1

O enunciado trata da equação logística
dydt=rl(1-yKr)y
com r=1 e K=1. Precisamos encontrar
– (a) as soluções de equilíbrio (valores constantes de y que anulem o lado direito),
– (b) a solução explícita que satisfaz y(0)=3 (usando separação de variáveis e constantes de integração),
– (c) o maior intervalo de tempo em que essa solução está bem definida (evitando divisão por zero).

Passo 2

Para as soluções de equilíbrio fazemos
dydt=y(1-y)=0
Logo os pontos de equilíbrio são as raízes de y(1-y)=0, ou seja
y0=0 e y1=1

Passo 3

Para a solução geral separamos variáveis:
integral dyy(1-y) = integral dt
Usando frações parciais
1y(1-y) = 1y + 11-y,
temos
integrall(1y+11-yr)dy = integral dt Longrightarrow ln|y| - ln|1-y| = t + C

Passo 4

Colocando em forma exponencial obtemos
lny1-y=t+C Longrightarrow y1-y=A,e^t,
onde A=e^C. Assim
y=A,e^t1+A,e^t
Para y(0)=3 vale
31-3=A ;Longrightarrow; A=-tfrac32
Substituindo e simplificando:
y(t) =-tfrac32,e^t1-tfrac32,e^t =3e^t3e^t-2 =3,3-2e^-t,

Passo 5

A solução falha onde o denominador zera, ou seja
3-2e^-t=0 ;Longrightarrow; e^-t=tfrac32 ;Longrightarrow; t=lnl(tfrac23r)
Como queremos o maior intervalo contendo t=0, e ln(2/3)<0, o domínio máximo é
l(ln(tfrac23),,inftyr)

Resposta

(a) As soluções de equilíbrio são
y0=0, y1=1
(b) A solução do PVI y(0)=3 é
y(t)=33-2e^-t
(c) O maior intervalo de definição é
l(ln(tfrac23),,inftyr)

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