Calcule a integral de superficie , onde a superficie S que está parametrizada por e a função escalar é
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de superfície , onde a superfície é parametrizada por com , e a função escalar é . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies, calcular o elemento de área e ajustar a função na parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície , que é dada por . Aqui, e são variáveis que variam dentro do círculo unitário .
Passo 3
Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície em relação a e . Isso é feito derivando em relação a e :
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial dos vetores tangentes e :
= i(-1 - 1) - j(-v - u) + k(v - u)
= -2i + (v + u)j + (v - u)k
Passo 5
O módulo do vetor normal nos dá o elemento de área dS:
| sigmau times sigmav | = raiz(-2)^2 + (v + u)^2 + (v - u)^2 = raiz4 + (v + u)^2 + (v - u)^2
Então, o elemento de área é constante e igual a raiz6.
Passo 7
Agora, vamos expressar a função f(x, y, z) = y em termos de u e v usando a parametrização:
f(sigma(u, v)) = y = u + v
Passo 8
Finalmente, montamos a integral de superfície:
integral duplaS f , dS = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u + v) cdot raiz6 , du , dv = raiz6 integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u + v) , du , dv
Passo 9
Observando que a região de integração é um círculo centrado na origem e que as funções u e v são ímpares em relação a essa região, as integrais de u e v sobre o círculo serão zero. Portanto:
integral duplau^2 + v^2 <= 1 u , du , dv = 0 e integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv = 0