Calcule a integral de superficie integral duplaS fdS, onde a superficie S que está parametrizada por sigma(u, v)=(u v, u+v, u-v), u^2+v^2 <= 1 e a função escalar é f(x, y, z)=y

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de superfície integral duplaS f , dS, onde a superfície S é parametrizada por sigma(u, v) = (uv, u+v, u-v) com u^2 + v^2 <= 1, e a função escalar é f(x, y, z) = y. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar superfícies, calcular o elemento de área dS e ajustar a função f na parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície S, que é dada por sigma(u, v) = (uv, u+v, u-v). Aqui, u e v são variáveis que variam dentro do círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície em relação a u e v. Isso é feito derivando sigma(u, v) em relação a u e v:
sigmau = partial sigmapartial u = (v, 1, 1)
sigmav = partial sigmapartial v = (u, 1, -1)

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor normal à superfície, que é o produto vetorial dos vetores tangentes sigmau e sigmav:
sigmau times sigmav = i & j & k v & 1 & 1 u & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(v cdot (-1) - 1 cdot u) + k(v cdot 1 - 1 cdot u)
= i(-1 - 1) - j(-v - u) + k(v - u)
= -2i + (v + u)j + (v - u)k

Passo 5

O módulo do vetor normal nos dá o elemento de área dS:
| sigmau times sigmav | = raiz(-2)^2 + (v + u)^2 + (v - u)^2 = raiz4 + (v + u)^2 + (v - u)^2
= raiz4 + (v^2 + 2uv + u^2) + (v^2 - 2uv + u^2) = raiz4 + 2v^2 + 2u^2 = raiz2(u^2 + v^2) + 4

Passo 6

Como u^2 + v^2 <= 1, substituímos na expressão:
| sigmau times sigmav | = raiz2(1) + 4 = raiz6
Então, o elemento de área é constante e igual a raiz6.

Passo 7

Agora, vamos expressar a função f(x, y, z) = y em termos de u e v usando a parametrização:
f(sigma(u, v)) = y = u + v

Passo 8

Finalmente, montamos a integral de superfície:
integral duplaS f , dS = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u + v) cdot raiz6 , du , dv = raiz6 integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u + v) , du , dv

Passo 9

Observando que a região de integração é um círculo centrado na origem e que as funções u e v são ímpares em relação a essa região, as integrais de u e v sobre o círculo serão zero. Portanto:
integral duplau^2 + v^2 <= 1 u , du , dv = 0 e integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv = 0

Resposta

A integral de superfície vale 0.

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