Seja
dada por
. Esboce geometricamente as curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede as curvas de nível de
. O conteúdo envolvido é curva de nível e classificação de seções cônicas. Para resolver, vamos escrever a equação
e analisar os casos
,
e
.
Passo 2
Escrevemos a curva de nível de valor
como
Essa é a equação geral de uma hipérbole quando
, e degenera para um par de retas quando
.
Passo 3
Para
temos
que equivale a
ou seja
e
São duas retas passando pela origem com inclinações
.
Passo 4
Para
reescrevemos
Trata-se de uma hipérbole com eixo principal ao longo do eixo
, ramos abertos para a direita e para a esquerda, e vértices em
.
Passo 5
Para
colocamos
com
e obtemos
ou seja
É uma hipérbole com eixo principal ao longo do eixo
, ramos abertos para cima e para baixo, e vértices em
.
Resposta
As curvas de nível de
são hipérboles de equação
. Para
temos hipérboles com ramos à direita e à esquerda e vértices em
; para
há hipérboles com ramos acima e abaixo e vértices em
; o caso
degenera em duas retas
, que são as assíntotas das hipérboles.