Seja f: R^2 R dada por f(x, y)=x^2-y^2. Esboce geometricamente as curvas de nível.

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível de f(x,y)=x^2 - y^2. O conteúdo envolvido é curva de nível e classificação de seções cônicas. Para resolver, vamos escrever a equação ;x^2 - y^2 = c e analisar os casos c=0, c>0 e c<0.

Passo 2

Escrevemos a curva de nível de valor c como
x^2 - y^2 = c
Essa é a equação geral de uma hipérbole quando c neq 0, e degenera para um par de retas quando c=0.

Passo 3

Para c=0 temos
x^2 - y^2 = 0
que equivale a
y^2 = x^2
ou seja
y = x
e
y = -x
São duas retas passando pela origem com inclinações pm1.

Passo 4

Para c>0 reescrevemos
x^2c ;-;y^2c = 1
Trata-se de uma hipérbole com eixo principal ao longo do eixo x, ramos abertos para a direita e para a esquerda, e vértices em l(pmraizc,0r).

Passo 5

Para c<0 colocamos c=-k com k>0 e obtemos
-x^2k ;+;y^2k = 1,
ou seja
y^2k ;-;x^2k = 1
É uma hipérbole com eixo principal ao longo do eixo y, ramos abertos para cima e para baixo, e vértices em l(0,pmraizkr).

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=x^2 - y^2 são hipérboles de equação ;x^2 - y^2 = c. Para c>0 temos hipérboles com ramos à direita e à esquerda e vértices em l(pmraizc,0r); para c<0 há hipérboles com ramos acima e abaixo e vértices em l(0,pmraiz|c|r); o caso c=0 degenera em duas retas y=pm x, que são as assíntotas das hipérboles.

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