Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) cos x^3-y^3x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0)cosx^3 - y^3x^2 + y^2
ou seja, é um limite de função de duas variáveis envolvendo a composição de cos com a razão x^3 - y^3x^2 + y^2. Vamos usar uma estimativa para mostrar que o argumento de cos tende a zero e então aplicar a continuidade de cos.

Passo 2

Para começar, estimamos o valor absoluto da fração interna:
|x^3 - y^3x^2 + y^2| ;<=; |x|^3 + |y|^3x^2 + y^2 ;=; |x|^3x^2 + y^2 + |y|^3x^2 + y^2
Agora note que
|x|^3x^2 + y^2 ;=; |x| x^2x^2 + y^2 ;<=; |x|,
pois x^2x^2 + y^2<=1. De modo análogo |y|^3x^2 + y^2<=|y|. Logo
|x^3 - y^3x^2 + y^2|<= |x| + |y|

Passo 3

Quando (x,y)to(0,0) temos |x|+|y|to0. Assim pelo critério do confronto
x^3 - y^3x^2 + y^2;longrightarrow;0

Passo 4

Como cos é contínua em todo ponto, em particular em 0, vale
lim(x,y)to(0,0)cosx^3 - y^3x^2 + y^2 =cosl(lim(x,y)to(0,0)x^3 - y^3x^2 + y^2r) =cos(0)=1

Resposta

1

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