Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede
ou seja, é um limite de função de duas variáveis envolvendo a composição de com a razão . Vamos usar uma estimativa para mostrar que o argumento de tende a zero e então aplicar a continuidade de .
Passo 2
Para começar, estimamos o valor absoluto da fração interna:
Agora note que
|x|^3x^2 + y^2 ;=; |x| x^2x^2 + y^2 ;<=; |x|,
pois x^2x^2 + y^2<=1. De modo análogo |y|^3x^2 + y^2<=|y|. Logo
|x^3 - y^3x^2 + y^2|<= |x| + |y|
Passo 3
Quando (x,y)to(0,0) temos |x|+|y|to0. Assim pelo critério do confronto
x^3 - y^3x^2 + y^2;longrightarrow;0
Passo 4
Como cos é contínua em todo ponto, em particular em 0, vale