Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 xx^2+x+y^2

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) 2xx^2+x+y^2
que é um caso de limite de função de duas variáveis. Vamos investigar diferentes trajetórias para ver se chega sempre ao mesmo valor ou não.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Substituindo na expressão:
2xx^2+x+0^2 =2xx(x+1) =2x+1
Quando xto0, isso tende a
limxto02x+1 = 21 = 2

Passo 3

Agora use a trajetória x=-y^2. Substituindo:
2(-y^2)(-y^2)^2+(-y^2)+y^2 =-2y^2y^4-y^2+y^2 =-2y^2y^4 =-2y^2
Quando yto0, esse quociente diverge para -infty.

Passo 4

Como pela reta y=0 obtemos limite 2 e pela parábola x=-y^2 obtemos -infty, o valor não é único nem finito.

Resposta

O limite não existe.

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