Determine a equação do plano que passa pelo ponto e contém a reta com equações simétricas .
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que passa pelo ponto e contém a reta dada pelas equações simétricas
Aqui o conteúdo é geometria no espaço: para determinar o plano, vamos precisar achar dois vetores diretores que pertencem a ele e depois calcular um vetor normal via produto vetorial.
Passo 2
Vamos parametrizar a reta e extrair seu vetor diretor. Se denotarmos
então
Isso mostra que um vetor diretor da reta é
e um ponto qualquer na reta (por exemplo em ) é a origem .
Passo 3
Para ter dois vetores no plano, usamos e o vetor que vai de um ponto da reta (a origem) até o ponto dado . Esse segundo vetor é
Passo 4
O vetor normal ao plano é ortogonal a e a , logo calculamos o produto vetorial:
Passo 5
A equação de um plano com normal n=(a,b,c) que passa por um ponto P0=(x0,y0,z0) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Aqui a=1, b=-4, c=3 e podemos usar P0=(1,1,1). Substituindo:
1,(x-1) -4,(y-1) +3,(z-1)=0 ;Longrightarrow; x - 1 -4y +4 +3z -3 = 0 ;Longrightarrow; x - 4y +3z = 0