Determine a equação do plano que passa pelo ponto (1,1,1) e contém a reta com equações simétricas x6=y3=z2.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelo ponto (1,1,1) e contém a reta dada pelas equações simétricas
x6 = y3 = z2
Aqui o conteúdo é geometria no espaço: para determinar o plano, vamos precisar achar dois vetores diretores que pertencem a ele e depois calcular um vetor normal via produto vetorial.

Passo 2

Vamos parametrizar a reta e extrair seu vetor diretor. Se denotarmos
x6 = y3 = z2 = t,
então
x = 6t, y = 3t, z = 2t
Isso mostra que um vetor diretor da reta é
v = (6,,3,,2),
e um ponto qualquer na reta (por exemplo em t=0) é a origem (0,0,0).

Passo 3

Para ter dois vetores no plano, usamos v=(6,3,2) e o vetor que vai de um ponto da reta (a origem) até o ponto dado (1,1,1). Esse segundo vetor é
w = (1-0,;1-0,;1-0) = (1,,1,,1)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é ortogonal a v e a w, logo calculamos o produto vetorial:
n = v times w = i & j & k 6 & 3 & 2 1 & 1 & 1 = (3 cdot 1 - 2 cdot 1,; -l(6 cdot 1 - 2 cdot 1r),; 6 cdot 1 - 3 cdot 1) = (1,,-4,,3)

Passo 5

A equação de um plano com normal n=(a,b,c) que passa por um ponto P0=(x0,y0,z0) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Aqui a=1, b=-4, c=3 e podemos usar P0=(1,1,1). Substituindo:
1,(x-1) -4,(y-1) +3,(z-1)=0 ;Longrightarrow; x - 1 -4y +4 +3z -3 = 0 ;Longrightarrow; x - 4y +3z = 0

Resposta

A equação do plano é
x - 4y + 3z = 0

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