Calcule a integral de superfície.
integralegral duplaS x^2 y z d S, S é a parte do plano 2x+3y+z=6 que está acima do retângulo [0,3] times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de uma função escalar sobre a parte do plano
2x+3y+z=6
que está “acima” do retângulo [0,3]times[0,2]. O conteúdo é cálculo de integral de superfície via parametrização de gráfico z=z(x,y) e uso do fator de correção
raiz1+zx^2+zy^2.

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
r(x,y) = l(x,;y,;6-2x-3yr),
com (x,y)in D=[0,3]times[0,2]. Assim o ponto na superfície tem coordenada z=6-2x-3y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
zx = -2, zy = -3
e o elemento de área é
dS = raiz1+zx^2+zy^2,dx,dy =raiz1+(-2)^2+(-3)^2,dx,dy =raiz14,dx,dy

Passo 4

O integrando é x^2,y,z, logo em termos de x,y fica
x^2,y,(6-2x-3y)
A integral de superfície se transforma em
integral duplaS x^2,y,z,dS =integralx=0^3!integraly=0^2 x^2,y,(6-2x-3y),raiz14;dy,dx

Passo 5

Primeiro integramos em y:
integral0^2x^2,y,(6-2x-3y),dy =x^2integral0^2(6y-2x,y-3y^2),dy =x^2l[3y^2 - x,y^2 - y^3r]0^2 =x^2l(12 -4x -8r) =x^2(4-4x) =4x^2-4x^3

Passo 6

Agora integramos em x:
integral0^3(4x^2-4x^3),dx =4integral0^3x^2,dx ;-;4integral0^3x^3,dx =4cdot3^33-4cdot3^44 =4cdot9 -4cdot814 =36-81 =-45

Passo 7

Não esquecer do fator raiz14. Portanto
integral duplaSx^2,y,z,dS =-45;raiz14

Resposta

-45raiz14

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