Considere a superfície
obtida pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico de uma função
, com derivada contínua e
. A área da superfície
é dada por
Sejam
e
as áreas das superfície geradas pela rotação, em torno do eixo
, dos gráfico das seguintes funções
e
, respectivamente. Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas funções que rodam em torno do eixo
e queremos calcular as áreas das superfícies resultantes dessa rotação. As funções são
no intervalo de
a
e
no intervalo de
a
. A fórmula para a área da superfície de rotação é:
A tarefa é mostrar que a soma dessas duas áreas,
, é igual à integral de
de
a
. Vamos precisar usar cálculo integral e entender como aplicar a fórmula da área da superfície de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a área da superfície gerada pela rotação de
de
a
. Vamos identificar as partes da fórmula:
-
- Derivada de
: -
-
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 3
Vamos agora calcular
, que é a área da superfície gerada pela rotação de
de
a
. Identificamos as partes:
-
- Derivada de
: -
-
Substituímos na fórmula:
Passo 4
Agora, queremos somar
e
e verificar se isso é igual à integral dada:
Observamos que a soma das duas integrais dos lados esquerdo pode ser manipulada para se transformar na integral do lado direito, talvez através de uma substituição ou mudança de variável. Vamos observar que
no intervalo
a
e
de
a
podem cobrir o intervalo de
a
após uma transformação apropriada.
Passo 5
Para verificar isso, consideramos uma substituição que conecta as duas integrais. Seja
para
e
para
. Ao somar essas duas contribuições, efetivamente cobrimos o intervalo de
a
na integral final. Assim, a soma das áreas
se transforma na integral:
Resposta
Portanto, mostramos que a soma das áreas das superfícies de rotação
é igual à integral
.