Seja f contínua em [a, b], com f(x) >= 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
Calcule V nos seguintes casos:
A=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= e, 0 <= y <= ln (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular o volume de um sólido que é gerado quando giramos a região delimitada pelas retas x = 1 , x = e , o eixo x e a curva y = ln(x) em torno do eixo x . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrais. Precisamos calcular a integral de pi [ln(x)]^2 de 1 a e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula do volume usando o método dos discos:
V = integral1^e pi [ln(x)]^2 , dx
Aqui, pi [ln(x)]^2 representa a área de cada disco em um ponto x , e ao integrar de 1 a e , somamos todas essas áreas para encontrar o volume total.

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular a integral integral [ln(x)]^2 , dx . Para resolver isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica onde quebramos a integral em partes mais simples.
A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = [ln(x)]^2 Rightarrow du = 2 ln(x) cdot 1x , dx
dv = dx Rightarrow v = x

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral [ln(x)]^2 , dx = x [ln(x)]^2 - integral x cdot 2 ln(x) cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= x [ln(x)]^2 - 2 integral ln(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver integral ln(x) , dx . Mais uma vez, usamos integração por partes. Escolhemos:
u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
dv = dx Rightarrow v = x
Aplicando a fórmula:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x

Passo 6

Voltando ao passo anterior:
integral [ln(x)]^2 , dx = x [ln(x)]^2 - 2 (x ln(x) - x) = x [ln(x)]^2 - 2x ln(x) + 2x

Passo 7

Agora, avaliamos essa expressão de 1 a e :
[ x [ln(x)]^2 - 2x ln(x) + 2x ]1^e
Calculando em x = e :
e [ln(e)]^2 - 2e ln(e) + 2e = e (1)^2 - 2e (1) + 2e = e - 2e + 2e = e
Calculando em x = 1 :
1 [ln(1)]^2 - 2 cdot 1 cdot ln(1) + 2 cdot 1 = 1 (0)^2 - 0 + 2 = 2
Subtraindo:
e - 2

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo pi para obter o volume:
V = pi (e - 2)

Resposta

O volume V é igual a pi (e - 2) .

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