Seja
contínua em
, com
em
. Denote por
a região do plano limitado pelas retas
, pelo eixo
e pelo gráfico de
. O volume
do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
, é dado por
Calcule
nos seguintes casos:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular o volume de um sólido que é gerado quando giramos a região delimitada pelas retas
,
, o eixo
e a curva
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrais. Precisamos calcular a integral de
de 1 a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula do volume usando o método dos discos:
Aqui,
representa a área de cada disco em um ponto
, e ao integrar de 1 a
, somamos todas essas áreas para encontrar o volume total.
Passo 3
Agora, vamos focar em calcular a integral
. Para resolver isso, vamos usar integração por partes, que é uma técnica onde quebramos a integral em partes mais simples.
A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Agora, precisamos resolver
. Mais uma vez, usamos integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando ao passo anterior:
Passo 7
Agora, avaliamos essa expressão de 1 a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo
para obter o volume:
Resposta
O volume
é igual a
.