Considere a função
f(x, y)=ccc 2 y^3x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
Mostre que f possui derivadas parciais mas não é diferenciável na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente analisar a função f(x, y) definida por
f(x, y)=ccc 2 y^3x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
Nosso objetivo é mostrar que f tem derivadas parciais na origem, mas que ela não é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y na origem. As derivadas parciais são basicamente as taxas de variação da função em cada direção (x e y).
Para a derivada parcial em relação a x na origem, usamos a definição:
fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h
Como f(h,0) = 2 cdot 0^3h^2+0^2 = 0 , temos:
fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y na origem:
fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k
Aqui, f(0,k) = 2 k^30^2+k^2 = 2 k^3k^2 = 2k . Então:
fy(0,0) = limk to 0 2k - 0k = 2

Passo 4

Até aqui, vimos que as derivadas parciais existem na origem: e . Mas isso não garante que a função seja diferenciável nesse ponto. Para ser diferenciável, a função precisa se comportar de maneira linear perto da origem, ou seja, o limite
deve ser igual a zero.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Agora, vamos analisar o limite acima. Se escolhermos , temos:
Como o limite não é zero, concluímos que a função não é diferenciável na origem.

Resposta

A função f possui derivadas parciais na origem (0,0) , mas não é diferenciável nesse ponto.

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