Considere a região R(L)=(x, y): 0 <= y <= cosh x,-L <= x <= L. Determine uma relação entre o volume V(L) do sólido obtido pela rotação de R(L) em torno do eixo x e a área A(L) da superfície obtida pela rotação do gráfico da catenária y=cosh x, no intervalo [-L, L], em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma região definida por R(L) = (x, y): 0 <= y <= cosh x, -L <= x <= L . A tarefa é encontrar uma relação entre o volume V(L) do sólido que resulta da rotação dessa região em torno do eixo x e a área A(L) da superfície que a catenária y = cosh x gera quando rotacionada no mesmo intervalo [-L, L]. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração para volumes e áreas de superfície de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o volume V(L) do sólido gerado pela rotação da região R(L) em torno do eixo x . Para isso, usamos o método dos discos, que envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos ao longo do eixo x .
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
V(L) = pi integral-L^L [f(x)]^2 , dx
No nosso caso, f(x) = cosh x , então:
V(L) = pi integral-L^L (cosh x)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a área A(L) da superfície gerada pela rotação do gráfico da catenária y = cosh x ao redor do eixo x . Para isso, usamos a fórmula da área de superfície de rotação:
A(L) = 2pi integral-L^L f(x) raiz1 + [f'(x)]^2 , dx
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de f(x) = cosh x . Sabemos que:
f'(x) = sinh x
Então, substituindo na fórmula:
A(L) = 2pi integral-L^L cosh x raiz1 + (sinh x)^2 , dx

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz na fórmula da área. Sabemos que:
1 + (sinh x)^2 = cosh^2 x
Porque a identidade hiperbólica é:
cosh^2 x - sinh^2 x = 1 implies 1 + sinh^2 x = cosh^2 x
Então, a expressão para A(L) fica:
A(L) = 2pi integral-L^L cosh x cdot cosh x , dx = 2pi integral-L^L (cosh x)^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos comparar as expressões que encontramos para V(L) e A(L) :
V(L) = pi integral-L^L (cosh x)^2 , dx
A(L) = 2pi integral-L^L (cosh x)^2 , dx
Observamos que A(L) é exatamente o dobro de V(L) :
A(L) = 2 V(L)

Resposta

A área da superfície gerada A(L) é o dobro do volume V(L) . Ou seja,
A(L) = 2, V(L)

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