Considere a região
. Determine uma relação entre o volume
do sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
e a área
da superfície obtida pela rotação do gráfico da catenária
, no intervalo
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma região definida por
. A tarefa é encontrar uma relação entre o volume
do sólido que resulta da rotação dessa região em torno do eixo
e a área
da superfície que a catenária
gera quando rotacionada no mesmo intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração para volumes e áreas de superfície de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o volume
do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
. Para isso, usamos o método dos discos, que envolve integrar a área de círculos infinitamente pequenos ao longo do eixo
.
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área
da superfície gerada pela rotação do gráfico da catenária
ao redor do eixo
. Para isso, usamos a fórmula da área de superfície de rotação:
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
. Sabemos que:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz na fórmula da área. Sabemos que:
Porque a identidade hiperbólica é:
Então, a expressão para
fica:
Passo 5
Agora, vamos comparar as expressões que encontramos para
e
:
Observamos que
é exatamente o dobro de
:
Resposta
A área da superfície gerada
é o dobro do volume
. Ou seja,