Calcule a integral de superfície é a porção do cone entre os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do cone entre os planos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . O cone pode ser reescrito como , que é a equação de um cone circular. Queremos a parte desse cone entre e .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície. Uma boa maneira de fazer isso é usando coordenadas cilíndricas, onde , e (já que ).
Passo 4
Com essa parametrização, os limites para são de 1 a 2 (já que varia de 1 a 2) e para , de 0 a (completando o círculo).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o elemento de área . Para uma superfície parametrizada por , temos: