Calcule a integral de superfície integral duplaS f(x, y, z) d S
f(x, y, z)=z^2 ; S é a porção do cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS f(x, y, z) , dS, onde f(x, y, z) = z^2. A superfície S é a parte do cone z = raizx^2 + y^2 entre os planos z = 1 e z = 2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. O cone z = raizx^2 + y^2 pode ser reescrito como z^2 = x^2 + y^2, que é a equação de um cone circular. Queremos a parte desse cone entre z = 1 e z = 2.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície. Uma boa maneira de fazer isso é usando coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta e z = r (já que z = raizx^2 + y^2 = r).

Passo 4

Com essa parametrização, os limites para r são de 1 a 2 (já que z varia de 1 a 2) e para theta, de 0 a 2pi (completando o círculo).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS. Para uma superfície parametrizada por (r, theta), temos:
dS = | partial rpartial r times partial rpartial theta | dr,dtheta
Calculando as derivadas parciais:
partial rpartial r = (costheta, sintheta, 1)
partial rpartial theta = (-rsintheta, rcostheta, 0)
O produto vetorial dessas derivadas é:
partial rpartial r times partial rpartial theta = (-costheta, -sintheta, r)
A magnitude desse vetor é:
| partial rpartial r times partial rpartial theta | = raiz(-costheta)^2 + (-sintheta)^2 + r^2 = raizcos^2theta + sin^2theta + r^2 = raiz1 + r^2
Então, dS = raiz1 + r^2 , dr,dtheta.

Passo 6

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplaS z^2 , dS = integral0^2pi integral1^2 z^2 raiz1 + r^2 , dr,dtheta
Mas como z = r, substituímos z^2 por r^2:
integral0^2pi integral1^2 r^2 raiz1 + r^2 , dr,dtheta

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral em :
Vamos fazer uma substituição , então ou . Precisamos ajustar para incluir :
Mas como , , e simplificando, a integral fica:
Isso simplifica para:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração apropriados, e o resultado é uma função de avaliada entre 2 e 5.

Passo 8

Depois de calcular a integral em r, multiplicamos pelo resultado da integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Portanto, a integral de superfície completa será:
2pi times resu<ado da integral em r

Resposta

Após calcular todas as integrais, o valor final da integral de superfície é 14pi3 .

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